2.15. ЭЛЕМЕНТЫ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ОПТИКИ

Любой оптический прибор К можно рассматривать как среду, показатель преломления которой описывается определенной функцией координат. Вообще говоря, прибор предназначается для создания по возможности наилучшего изображения предмета с заданными характеристиками. Ту область, в которой находится предмет, принято называть пространством предмета. В свою очередь термин пространство изображения используют для обозначения области, в которую попадают лучи от предмета после прохождения через прибор К. Существенное упрощение построения изображения возможно в том

случае, когда среда однородна как в пространстве предмета, так и в пространстве изображения. При этом начальные и конечные участки луча являются прямыми линиями.

Чаше всего от оптического прибора требуется, чтобы он давал резкое изображение плоского предмета, которое геометрически подобно самому предмету. В некоторых случаях от прибора К требуют, чтобы он давал квадратное изображение прямоугольного предмета. Это бывает необходимо, например, для съемок широкоформатных фильмов, когда очень большое горизонтальное поле зрения требуется спроецировать на кинопленку обычного формата. В других случаях может потребоваться создание резкого изображения плоского предмета на неплоской поверхности.

Идеальным было бы такое изображение, когда все лучи, исходящие из некоторой точки О предмета, проходили бы через соответствующую точку изображения О. В реальных же системах лучи из точки О, вообще говоря, не пересекаются в одной точке О пространства изображения. Если система отображает плоский предмет, расположенный в плоскости в плоское изображение на и если некоторый луч из О пересекает в точке то вектор соединяющий искомое изображение О с является мерой Лучевой аберрации.

Если пространства предмета и изображения однородны, то узкий гомоцентрический пучок лучей с фокусом в точке О, собранный вокруг центрального луча преобразуется оптическим прибором К в астигматический пучок, характеризующийся двумя фокальными линиями, расстояние между которыми называют астигматической разностью пучка. Из простых геометрических построений следует, что если фокальные отрезки имеют одинаковую длину а, то лучи пучка пересекают круговой контур диаметром При этом точка наилучшего изображения О располагается точно посередине между фокальными линиями, в центре диска наименьшего искажения.

Вообще говоря, различная ориентация центрального луча пучка не позволяет свести до нуля астигматическую разность пучка. Исключения возможны лишь для некоторых частных поверхностей, создаваемых полем предмета. При этом резкое изображение определенных точек можно получить путем ограничения апертуры пучка лучей. Однако в некоторых специальных системах существуют поверхности, идеальное изображение которых можно получить и с помощью широкоугольных лучей. Например, для однородной сферы радиусом с показателем преломления помещенной в среду с показателем

преломления идеально отображаются друг в друга сферические поверхности радиусами (предлагаем доказать это читателю самостоятельно). Учитывая это свойство, Амичи в 1840—1850 годах использовал сферические линзы для объективов микроскопа (см. задачу 13 в данной главе).

Для большей конкретности рассмотрим осесимметрическую систему К, состоящую из поверхностей вращения с общей оптической осью. Точка предмета О и оптическая ось определяют меридиональную плоскость. Луч, касательный к этой плоскости, должен лежать в ней полностью. Немеридиональный луч называется косым и нигде не пересекает оптическую ось. Как следует из соотношений (2.11.22), в пространстве изображения фокальные линии меридионального луча соответственно параллельны и перпендикулярны меридиональной плоскости. Поэтому их называют сагиттальной и тангенциальной фокальными линиями. Для косых лучей это свойство несправедливо. В частности, если точка О лежит на оптической оси, то каждый проходящий через нее луч является меридиональным. При этом каустика широкоугольного пучка лучей состоит из сагиттальной поверхности вращения вокруг оптической оси и тангенциальной фокальной поверхности, представляющей собой отрезок оптической оси (см. пример в разд. 2.10.1.6). Для небольших апертур эта поверхность стягивается в точку, если О совпадает с апланатической точкой линзы. На языке теории аберраций конечные размеры каустики аксиального точечного источника обусловлены главным образом сферической аберрацией, которая минимальна для некоторого определенного положения предмета.