3.9. МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ

Рассмотрим однородный диэлектрический слой толщиной Выражения (3.7.10) позволяют получить простые соотношения для эквивалентного напряжения и силы тока как на поверхности 1, так и на поверхности 2. Действительно, если положить то мы имеем

где для ТМ-волн и для ТЕ-волн. Таким образом,

Из этих соотношений в свою очередь получаем

Последние уравнения можно записать в матричной форме следующим образом:

Входящая сюда матрица называется характеристической матрицей, или матрицей пропускания слоя [19]. В оптике эти матрицы впервые использовали Херпин и Мачмор при рассмотрении простых сред. Позднее они были обобщены на анизотропные кристаллы [20]. Элементы характеристической матрицы зависят от оптической толщины и импеданса однородного слоя, а ее детерминант равен единице.

Когда рассматривается стопа пластин, пронумерованных, как обычно, справа налево, пара величин может быть выражена через если раз использовать умножение вектора на матрицу аналогично тому, как это сделано в (3.9.5). Точнее говоря, если обозначить через матрицу, относящуюся к пластине, то можно написать следующее выражение:

где произведение матриц Заметим, что произведение матриц требуется вычислять именно в указанном порядке, так как в общем случае матрицы не коммутируют, исключение составляет лишь случай пластин с одинаковыми характеристиками. Таким образом, можно сказать, что для любого мультислоя, используя соответствующую характеристическую матрицу, можно получить одну из другой пары относящиеся к произвольным поверхностям раздела.

Проведенное выше рассмотрение применимо для границ раздела мультислоя. Однако это ограничение можно обойти для произвольного сечения с абсциссой Поскольку нам ничто не мешает рассматривать это сечение как поверхность раздела между двумя средами, существует матрица такая, что в общем случае мы можем записать

В качестве следующего шага можно отказаться и от предположения о постоянстве показателя преломления в каждом слое. Действительно, каждый непрерывный профиль можно аппроксимировать мультислоем, состоящим из бесконечно тонких пластин. Отсюда можно заключить, что метод характеристической матрицы применим и для общего случая произвольной плоскослоистой среды. В частности, для любой такой среды так как для каждой матрицы детерминант равен единице, а детерминант произведения матриц равен произведению детерминантов.

В следующем разделе мы рассмотрим сначала случай пластины с

произвольным профилем а затем дадим последовательный анализ периодической стопы, состоящей из одинаковых пластин, каждая из которых характеризуется одной и той же матрицей