2.3. УРАВНЕНИЕ ЭЙКОНАЛА

Нетрудно показать, что можно получить, последовательно используя уравнения (2.2.9). В частности, соотношение которое в декартовых координатах имеет вид

называется уравнением эйконала или уравнением Гамильтона — Якоби. Поверхности, на которых эйконал является постоянным, называют волновыми фронтами. Если эйконал задан на произвольной поверхности то его значения на близкой поверхности можно получить, используя соотношение (рис. 2.1)

где соответственно нормальная и тангенциальная по отношению к производные (разумеется, если является волновым фронтом). Таким образом, если (а следовательно, и ее производная заданы на некоторой поверхности то можно вычислить (с точностью до знака) и изменение при переходе к Следовательно, для решения уравнения (2.3.1) достаточно знать значения функции на некоторой поверхности и направление ее возрастания.

Рассмотрим среду без дисперсии (показатель преломления не зависит от и определим функцию

Рис. 2.1. Сетка точек, используемая для интегрирования уравнения эйконала методом конечных разностей.

Из (2.3.1) следует, что является решением уравнения

Если вспомнить, что характеристическое уравнение дифференциального уравнения в частных производных второго порядка [5] получается при замене вторых производных произведением соответствующих первых производных, то сразу видно, что уравнение (2.3.4) является характеристическим для зависящего от времени волнового уравнения

Поскольку функция постоянна на поверхностях разрыва поля с помощью можно изучать эволюцию фронтов разрыва (например, тех, на которых поле резко обрывается до нуля). Если на некотором фронте разрыва, то положение этого фронта в момент времени равно [см. (2.3.3)]

Приведенные выше рассуждения дают физическую интерпретацию понятия эйконала и показывают, какую роль он играет в соответствующих расчетах. Теперь полезно определить условие, при выполнении которого некоторое семейство поверхностей

представляет собой множество волновых фронтов для данного распределения показателя преломления Здесь с — непрерывный параметр, каждое значение которого связано с определенной поверхностью. Таким образом, дифференцируя (2.3.6), получаем следующее уравнение:

где V обозначает градиент по переменным х, у, z. Для малого смещения перпендикулярного поверхности, проходящей через точку с помощью уравнения (2.3.2) получаем

Подставляя дифференциал (2.3.8) в уравнение (2.3.7), можно написать

Таким образом, поскольку зависит только от с, выражение в правой части этого уравнения также должно быть функцией только величины с. Иными словами, уравнение (2.3.6) описывает семейство волновых фронтов только в том случае, когда правая часть выражения (2.3.9) сохраняется постоянной на каждой поверхности этого семейства.