3.4. ОТРАЖЕНИЕ И ПРОПУСКАНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДОЙ

Как следует из предыдущего раздела, отражение возможно только при наличии точек поворота. Казалось бы, это явно неверное утверждение, ведь, как хорошо известно, разрывность показателя преломления в любом случае приводит к появлению отраженного луча. Противоречие это обусловлено тем, что метод сшивки асимптотических решений учитывает правильно распределение поля в непосредственной близости от точки поворота. Однако этот метод неприменим в тех случаях, когда показатель преломления существенно изменяется на масштабах порядка длины волны. Здесь мы рассмотрим приближение, основанное на решении волнового уравнения методом ВКБ [13].

Как будет видно ниже, отражение зависит от поляризации поля, т. е. с самого начала надо рассматривать векторную задачу. Следуя работе [13], рассмотрим плоскую волну

распространяющуюся в свободном полупространстве и падающую на плоскость отделяющую пустую область от неоднородного полупространства Пусть при диэлектрическая проницаемость является некоторой функцией нормализованной координаты где — произвольная единица длины. В выражении (3.4.1) — угол поляризации, а — угол падения.

Поле, отраженное средой при и поле, прошедшее в полупространство даются соответственно выражениями

где штрих означает производную по переменной коэффициенты отражения при поляризации, соответственно параллельной и перпендикулярной плоскости падения. В частности, функция является решением дифференциального уравнения

Из непрерывности составляющих векторов тангенциальных к поверхности следует, что

Определив величины

уравнение (3.4.3) можно переписать в виде

Можно получить асимптотическое решение этого уравнения для больших раскладывая функцию по аналогии с разложением (2.2.5). Таким образом, если положить

и повторить выкладки, приведшие к уравнению (2.2.8), то можно

показать, что

где штрихи означают производные по (выражения можно найти в работе [11]).

Если неоднородная среда не обладает существенным отражением, то в качестве 9 можно выбрать решение уравнения (3.4.7), связанное с волной, распространяющейся слева направо. Это отвечает положительной определенности величин Получив таким образом выражение цпяд, с помощью соотношения (3.4.4) можно вычислить

где

Здесь Остальные члены можно вычислить методом итераций, используя следующее выражение:

Главный член в асимптотическом разложении мы обозначили через так как он совпадает с коэффициентом отражения Френеля [см. ниже выражение (3.8.1)]. В то время зависит от разрыва показателя преломления на границе раздела, величина пропорциональна первой производной от Продолжая разложение, нетрудно показать, что произвольный член содержит производную от Коэффициент отражения вычисляется аналогичным образом.

Важно заметить, что в соответствии с полученными выше результатами возникновение отраженной волны обусловлено разрывностью производной от функции Казалось бы, отсюда можно сделать вывод, что отражения не может быть, если является аналитической функцией. Ошибочность этого заключения можно показать на следующем контрпримере, разобранном Эпштейном, который вычислил коэффициент отражения при нормальном падении на гладкую границу раздела между двумя средами с показателями преломления

соответственно Эпштейн рассмотрел следующий профиль :

и получил для коэффициента отражения

В частности, мы видим, что при а справедливо соотношение которое совпадает с величиной френелевского коэффициента отражения от резкой границы между средами [см. ниже выражение (3.8.9)].

Неудача асимптотического метода не вызывает удивления. Она связана с тем известным фактом, что во всех порядках по к асимптотическое разложение функции обращается тождественно в нуль. Как мы покажем в разд. 3.12.4, эту трудность можно преодолеть, используя метод характеристической матрицы.