2.2. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СКАЛЯРНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

Будем искать такое приближенное решение волнового уравнения для произвольной компоненты электрического поля в комплексном представлении которое локально удовлетворяет соотношению, справедливому для плоских волн:

Это соотношение означает, что при произвольном смещении фаза поля изменяется на величину - где локальный волновой вектор, зависящий от координаты При этом решение имеет вид обобщенной плоской волны, направление и скорость которой изменяются по мере распространения, а комплексная амплитуда

слабо меняется на расстоянии порядка длины волны. Символ - мы будем использовать для обозначения асимптотического равенства:

так что функцию и можно заменить ее асимптотическим представлением лишь при

Наиболее общее асимптотическое решение для поля можно представить как суперпозицию всевозможных частных решений вида (2.2.1):

Такое суммирование описывает случай, когда через данную точку проходят различные волны, возникающие при их отражении,

преломлении или дифракции на поверхностях разрыва и интерференции с исходной волной.

Применимость разложения (2.2.1) ограничена малой окрестностью точки Размер такой окрестности зависит от самой точки а в некоторых зонах (каустиках) он может обратиться в нуль. Очевидно, что при этом понятие локальных плоских волн и, в частности, выражение (2.2.1) теряют смысл. Другим предельным случаем является идеальная плоская волна, которая в любой точке пространства описывается выражением (2.2.1), причем знак асимптотического равенства заменяется в нем на точное равенство.

Для более строгого обоснования интуитивных предположений, приводящих к представлению (2.2.1), рассмотрим асимптотический ряд Лунеберга — Клейна [1, 2]:

в котором знак - теперь означает, что для любого целого

где символ Ландау, обозначающий любую функцию, стремящуюся к нулю быстрее чем в то время как

Асимптотический ряд (2.2.5) называют также представлением геометрической оптики, поскольку эйконал (введенный Бернсом в 1895 г.) приводит к интуитивному понятию о луче (см. разд. 2.4). По сравнению с традиционной геометрической оптикой формула (2.2.5) дает более полное описание распространения электромагнитных волн. Мы покажем это в разд. 2.7 на конкретном примере, связанном с введением комплексного эйконала.

Для того чтобы найти и коэффициенты подставим разложение (2.2.6) в волновое уравнение При этом мы получим выражение

где

Уравнение (2.2.8а) справедливо при любых только если

откуда и следует искомая система уравнений для

Пример: разложение функции Ханкеля Смысл асимптотического разложения можно пояснить на конкретном примере. Рассмотрим поле, излучаемое в вакууме линейным током. Для этого случая известно точное решение:

где расстояние от источника, а — функция Ханкеля второго рода нулевого порядка, асимптотическое разложение которой записывается в виде [4]

Чтобы улучшить точность асимптотического представления поля, функцию можно разложить в асимптотический ряд, в котором главный член совпадает с правой частью выражения (2.2.11). Члены высшего порядка можно найти, используя (2.2.9). При этом мы получим следующее разложение:

где

Таким образом, этот результат, как и следовало ожидать, совпадает с известным асимптотическим разложением функции Ханкеля.

Если ряд (2.2.5) сходится при больших то он представляет собой разложение в ряд Тейлора по волновому числу и является точным решением уравнения (1.1.12), так что использование асимптотического ряда не дает ничего нового. Однако в большинстве случаев асимптотические ряды расходятся, причем они имеют следующие свойства:

1) при ограничении ряда членом ошибка оказывается не больше члена;

2) с увеличением номера члены ряда сначала убывают, а затем возрастают;

3) для данного существует такой член ряда, суммирование до которого позволяет получить наилучшее приближение.

В соответствии с этим, в то время как бесконечное число членов ряда может привести к расходимости поля конечная частичная сумма может дать хорошее приближение. Поскольку ошибка имеет порядок

величины первого из отброшенных слагаемых, наилучшую точность дает сумма, полученная обрезанием ряда при таком значении при котором последующий член является минимальным. Удивительная особенность этих разложений состоит в их почти неожиданной применимости даже для не очень больших

Прежде чем двигаться дальше, заметим, что приведенное выше асимптотическое разложение поля (2.2.5) неоднозначно. Некоторые авторы считают более удобным разложение

где

Определив основные понятия геометрической оптики, в следующих разделах мы используем их для описания распространения света в различных физических системах.