3.3. СШИВКА АСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ; МЕТОД ЛАНГЕРА

Для того чтобы исключить область нефизического поведения поля при можно обратиться к методу сшивки асимпотических решений [11], позволяющему построить полное приближенное решение дифференциального уравнения, имеющего точки поворота. Этот метод состоит в объединении различных приближенных решений (ВКБ или геометрической оптики), которые справедливы лишь в соответствующих областях применимости. Аналогичный подход для вычисления дифракционных интегралов в переходных областях мы рассмотрим в гл. 5.

Для начала заменим в уравнении (3.2.13) величину ее линейным разложением 2

При этом уравнение (3.2.13) в окрестности точки сводится к уравнению Эйри (см. работу [4] в гл. 2)

Это частный случай уравнения более общего вида с точками поворота порядка:

решение которого можно записать в виде

где функция Бесселя дробного порядка При сводится к уравнению (3.3.2) и его решение, если использовать разложение (3.2.14), имеет вид

где с и с 2 — постоянные, безразмерный параметр, функции Эйри.

Теперь видно, что наше начальное предположение о виде волны при означает, что полупространство представляет собой освещенную зону, в которой эйконал является вещественным. Следовательно, при мы имеем так что положительные величины.

Переходные функции осциллируют при отрицательных значениях аргумента, при положительных монотонно спадает, монотонно возрастает. Из физических соображений можно сделать вывод, что т. е. зависимость функции и от можно представить кривой, изображенной на верхнем графике рис. 3.2.

Сравним теперь два выражения (3.2.14) и (3.3.5) дляи. Первое из них представляет собой лучевое поле и является хорошим приближением на достаточно большом расстоянии от каустики Второе выражение является решением волнового уравнения, справедливым при достаточно малых [так, чтобы выполнялось приближение (3.3.1)]. Если области применимости обоих приближений перекрываются, что обычно и имеет место для реальных распределений то оба этих решения можно сшить и получить полную информацию о поле. Точнее говоря, если использовать асимптотические выражения для функции при больших аргументах (см. книгу [4], цитируемую в гл. 2)

то из уравнения (3.3.5) получаем выражения

для поля в области, где оба используемых приближения приводят к одному и тому же результату. В соответствии с этим, когда волна подходит к точке поворота, всегда существует отраженная волна [см. второй член в правой части выражения (3.3.76)]. Она имеет ту же амплитуду, что и падающая, и задержана по времени на (см. разд. 2.10 и рис. 2.17).