2.7.1. Двумерные затухающие поля

Простые примеры затухающих волн можно получить, рассматривая двумерные поля. Если задать семейство фазовых траекторий, то ортогональные траектории затухания определяются однозначно. Используя соответствующие ортогональные криволинейные координаты для обозначения двух семейств, имеем При этом уравнение (2.7.3) запишется в виде

где масштабные множители выбранных координат.

Рассмотрим интересный частный случай, когда фазовыми траекториями являются конфокальные гиперболы, а траекториями затухания — эллипсы (рис. 2.10). Здесь удобно выбрать эллиптические координаты, определяемые равенствами

причем В этих координатах уравнение (2.7.9) для поля в вакууме принимает вид

Рассмотрим полуплоскость и решение уравнения (2.7.11): В области имеем

Рис. 2.10. Геометрическое представление затухающего поля, фазовые траектории которого образуют семейство конфокальных гипербол. Амплитуда поля изменяется вдоль оси х в соответствии с законом Гаусса.

т. е. [см. выражение (2.7.2)]:

где

Эти поля имеют гауссово распределение с шириной причем радиус кривизны волновых фронтов равен Такие поля образуют так называемые гауссовы пучки, поскольку поле в этом случае сконцентрировано в очень узкой трубке (см. разд. 7.7).