4.8. РАЗЛОЖЕНИЕ ПОЛЯ ПО ПЛОСКИМ ВОЛНАМ
Рассмотрим теперь задачу о разложении поля по плоским волнам в однородном полупространстве, ограниченном плоскостью, на которой это поле задано [13].
Вычислим сначала двумерное фурье-преобразование функции 
рассматриваемой как функция от х и у при фиксированных значениях 
при 
Заметим для этого, что выражение (4.5.3) можно переписать в эквивалентном виде
где 
это плоскость 
а область пространства без
источников расположена при 
Применим теперь выражение (4.8.1) к плоской волне
где 
и 
— вещественные величины. При этом удовлетворяется следующее соотношение:
вещественная положительная или мнимая отрицательная величина). Соотношение (4.8.3) означает, что плоская волна (4.8.2) распространяется в сторону увеличения 
что требуется для выполнения (4.8.1) (см. разд. 
Следовательно, мы можем написать следующее выражение:
где 
фурье-образ функции 
здесь для простоты мы не стали писать переменные 
которые не меняют своих значений при преобразованиях. Таким образом, имеем
Поскольку операции фурье-преобразований по переменным х и у и дифференцирования по 
независимы друг от друга, можно сразу написать соотношение для фурье-образа производной 
Используя теперь обратное преобразование Фурье, мы имеем
Отсюда с помощью соотношения (4.5.4) приходим к следующему
выражению:
Определив фурье-образ функции и(х, 
выражение (4.8.9) можно переписать в виде
откуда в свою очередь следует, что
Соотношение (4.8.11) и есть конечное представление в виде разложения по плоским волнам полей излучения наиболее общего вида в полупространстве 
Заметим, что существование затухающих волн учитывают с помощью мнимых отрицательных значений 
когда 
Соответствующие волны распространяются перпендикулярно оси 
и затухают в направлении положительных 
