5.3.2. Асимптотическое поведение функции F(x)

При изучении асимптотического поведения дифрагированного поля полезно рассмотреть вспомогательную функцию

Здесь вычет в верхней полуплоскости комплексной переменной (т. е. ). В первом случае контур интегрирования связывает оставляя справа полюсы подынтегрального выражения. Функция является аналитической на всей комплексной плоскости, за исключением прямой линиих которая является разрезом. Функция разрывна при переходе через разрез, и разность ее значений на двух берегах разреза равна 1. Это легко проверить, используя приведенное интегральное представление функции и замечая, что скачок связан лишь с изменением

Теперь заметим, что для положительных вещественных х функция сводится Таким образом, в общем виде имеем

где равна на нижней стороне разреза [т. е. при ] и единице в противном случае. Введение функции позволяет компенсировать разрывность функции

Можно показать, что при интегрировании по частям последнего интеграла в (5.3.11) функция допускает следующее асимптотическое представление:

где

Поскольку это разложение применимо для любых значений фазы величины х, окончательно получаем