7.6. РАССМОТРЕНИЕ РЕЗОНАТОРА КАК ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЛИНЗ

С целью ограничения числа параметров, определяющих положение и размеры зеркал, любой резонатор можно рассматривать как периодическую фокусирующую систему, в которой траекториям световых лучей, распространяющихся в прямом и обратном направлениях между зеркалами, поставлены в соответствие траектории лучей, периодически меняющих свое направление при попадании на искривленные поверхности линз. В параксиальном приближении тонкая линза эквивалентна зеркалу с таким же фокусным расстоянием, так что резонатор можно рассматривать как бесконечную последовательность линз, фокусные расстояния которых равны фокусному расстоянию соответствующих зеркал, а расстояние между линзами равно длине резонатора (рис. 7.16) (принято считать, что радиус кривизны вогнутого зеркала положителен, а выпуклого — отрицателен). Таким образом, поведение волнового фронта в резонаторе можно изучать, рассматривая

Рис. 7.16. Последовательность линз, эквивалентная резонатору, изображенному на рис. 7.13. Расстояние берется с положительным знаком, если соответствующий фокус располагается с левой стороны линзы

его распространение в оптической линии передачи (состоящей из бесконечной последовательности линз таких, что линза имеет такие же характеристики, как и линза моды которой взаимно однозначно соответствуют модам резонатора.

Характеристики этих мод можно найти по изображению точечного источника, расположенного в произвольной точке оптической оси линзового волновода. Предположим, что при прохождении луча через линзу он пересекает оптическую ось на расстоянии от плоскости линзы Заметим, что в общем случае так отличаются (расстояние от точечного источника до линзы если только не принимают некоторых конкретных значений. Действительно, распределение изображения получается периодическим, когда так что в соответствии с формулой тонкой линзы условие взаимного отображения можно записать следующим образом:

Отсюда мы получаем два решения для , каждое из которых представляет собой расстояние от двух фокусов пучка до зеркала 1:

здесь мы ввели параметры определяемые выражением

В конфокальной конфигурации фокусы двух зеркал совпадают Это условие, записанное через параметры имеет следующий вид:

Следовательно, если то в соответствии с (7.6.2) один пучок является коллимированным, а другой имеет общий фокус с одним из зеркал (рис. 7.17), и мы имеем

Рис. 7.17. Последовательность линз, эквивалентная конфокальному резонатору. Обратите внимание на то, что один пучок является коллимированным, а другой — конфокальным с зеркалами.

В соответствии со знаком подкоренного выражения в (7.6.2) координаты источника могут быть либо вещественными, либо комплексными; в частности, координаты будут комплексными (которые, как мы выясним ниже, соответствуют устойчивым резонаторам), если выполняется условие

Вещественные же значения координат соответствуют неустойчивому резонатору.

Рассматривая в разд. 7.7 свойства гауссовых пучков, связанных с комплексными координатами источника, мы покажем, что настоящая классификация резонаторов совпадает с приведенной в разд. 7.4. Следовательно, моды резонатора могут быть описаны гауссовыми пучками, только если произведение удовлетворяет неравенству (7.6.6).

Таблица 7.1. (см. скан) Координаты фокусов сферических волн, образующих основные моды

В табл. 7.1. перечислены комплексные координаты фокусов для наиболее распространенных резонаторов. Обратите внимание на то, что плоские и сферические резонаторы имеют действительные фокусы в соответствии с их определением как слабоустойчивых резонаторов (см. конец разд. 7.5).

В параксиальном приближении любое распределение поля и в плоскости является периодически повторяющимся. Таким образом, распределение поля будем искать в виде

где функция Грина для однородной области, а функции определяются выражением

Функция Грина может быть разложена в ряд по степеням коэффициентами которого являются функции

которые описывают поле, излучаемое мультиполем, расположенным в точке и имеющим порядок в направлении оси в направлении оси . Таким образом, любое поле и можно представить в виде суперпозиции мод имеющих фокус в точке на оптической оси.