2.15.3. Лучевая матрица

Определим для осесимметрической системы поперечные векторы При этом выражения (2.15.6) можно переписать в векторной форме:

где Из этих соотношений, в частности, следует, что вектор остается постоянным вдоль луча, распространяющегося через осесимметрическую систему. Модуль этого вектора, называемый наклоном (см. также инвариант наклона; разд. 2.13.1), можно использовать для того, чтобы сделать проще построение хода луча в центрированной системе, как это было первоначально сделано Смитом в 1821 г. Например, инвариантность наклона приводит к оптической теореме синусов [28]. В общем случае

выражения (2.15.20) удобно переписать в матричной форме:

где

Из написанных выше выражений следует, что определитель лучевой матрицы равен единице. В частности, для сферической поверхности, описываемой угловой характеристикой (2.15.16), можно написать

где называется степенью наклона поверхности. В общем случае является функцией переменных

При достаточно малых коэффициенты не зависят от Это область гауссовой оптики, в которой оптические приборы описываются системной матрицей образованной гауссовыми постоянными (Свое название этот раздел оптики получил в честь К. Гаусса, который в своей известной статье «Диоптрические исследования», опубликованной в Гёттингене в 1841 г., первым провел анализ преломляющей сферы, используя разложения в степенные ряды.) Например, для сферической преломляющей поверхности соотношения (2.15.23) при нулевых приводят к матрице

где предельное значение степени наклона при малых углах, называемое преломляющей способностью.

Если сдвинуть плоскости то новую матрицу можно построить, используя линейную связь между угловой характеристикой

где матрицы перехода учитывают сдвиг опорных плоскостей.

В общем случае, если коэффициент В равен нулю, то все лучи, выходящие из проходят через независимо от начального направления. Это означает, что является параксиальным изображением точки Если это свойство выполняется в параксиальном приближении для всех точек плоскостей то эти плоскости называются сопряженными плоскостями. Таким образом, условием сопряженности двух плоскостей является равенство нулю коэффициента В. Для двух произвольных величин плоскость, сопряженную к можно найти, сдвигая опорную плоскость в пространстве изображения, т. е. изменяя величину в (2.15.25) до тех пор, пока коэффициент В не станет равным нулю.

Аналогично если система освещается коллимированным пучком, то вектор не будет зависеть от при условии, что плоскость совпадает с фокальной плоскостью прибора. Ее положение можно найти, сдвигая плоскость до тех пор» пока не станет равным нулю коэффициент А. Каждая система имеет две главные (или единичные) плоскости, такие, что изображением любой точки является Положение этих плоскостей можно найти, потребовав выполнения условий Точка на оси такая, что исходящий из этой точки исходный луч составляет с оптической осью угол, равный углу, образуемому выходящим пучком, называется узловой точкой; для нее Если то узловые точки (в пространстве предмета и изображения) лежат на главных плоскостях.

В общем случае оптическая система характеризуется своими фокальными и главными плоскостями. Изображение предмета О можно получить с помощью геометрического построения, иллюстрируемого на рис. 2.33 и 2.34. Соответствующая лучевая матрица записывается в виде

где поперечное увеличение предмета, расстояние от фокальной плоскости в пространстве изображения до соответствующей главной плоскости; величина положительна, если лежит справа от Обозначим теперь через начальный и конечный углы,

Рис. 2.33. Положение единичных (главных) плоскостей и фокальных плоскостей линзы, лучевая матрица которой построена относительно произвольных плоскостей

образованные с оптической осью параксиальным лучом, проходящим через точки Используя приведенное выражение для имеем: Кроме того, Объединяя эти два соотношения, получаем так называемый инвариант Смита — Гельмгольца или Лагранжа (см. книгу [11] в гл. 1):

Чаще всего оптическая система ограничивает возможный размер пучков, которые могут проходить через К. Такими ограничителями могут быть оправы линз или другие препятствия, наличие которых называют виньетированием (рис. 2.35). Параксиальные изображения передним и задним элементами системы К образуют соответственно входной и выходной зрачки. Лучи, касающиеся границ зрачков, называются боковыми, а луч, проходящий через предмет и центр выходного зрачка, называют главным лучом. Эти лучи играют важную роль при анализе аберраций.

Рис. 2.34. Лучевая матрица относительно двух сопряженных плоскостей линейное увеличение предмета в плоскости расстояние от фокальной плоскости до главной плоскости положительно, если плоскость лежит справа от

Рис. 2.35. Входной и выходной зрачки оптической системы. Луч, проходящий через называется главным. Апертура а не отделяет пучка лучей от аксиальных точек. Если предмет о расположен достаточно далеко от оси, то выходной зрачок выглядит частично освещенным, что показано на врезке (на рисунке справа вверху). Такое частичное освещение называют виньетированием. плоскость предмета; 2 — входной зрачок; 3 — первая поверхность; 4 — последняя поверхность; выходной зрачок; плоскость изображения; 7 — ограничитель; 8 — прошедший пучок.

Для оценки световой энергии, проходящей через систему, часто используют числовую апертуру (ЧА). В параксиальном приближении она равна показателю преломления умноженному на половину угла конуса лучей, собираемых входным зрачком от точки О аксиального предмета. Аналогичную величину можно определить и в пространстве изображения. Используя значения волнового вектора, числовой апертуры и координат предмета положение точки можно охарактеризовать с помощью безразмерных величин, называемых оптическими координатами:

Аналогичные определения можно ввести и для пространства изображения, в котором числовую апертуру необходимо заменить на на где поперечное увеличение. Если плоскости являются сопряженными, то легко показать, что модули оптических координат двух сопряженных точек, близких соответственно равны друг другу.

Оптический прибор можно также характеризовать размером предмета, изображение которого воспроизводится более или менее правдоподобно. Если обозначить через А площадь области предмета, а через О — инструментальный угол, то величину

называют светосилой или светособирающей способностью. Этот параметр имеет большое значение для спектроскопических приборов

(см. разд. 7.21.2). Кроме того, величина определяет число точек предмета, которые можно разрешить на изображении предмета, формируемом прибором с данной светосилой (см. разд. 4.15.5).

Показав, какими богатыми возможностями обладает гауссова оптика для анализа оптических систем, в заключение напомним читателю, что лучевую матрицу системы можно построить, заменяя линзу набором плоскостей, касательных к вершинам преломляющих поверхностей. Последовательно перемножая матрицы, относящиеся к преломляющим поверхностям, и матрицы перехода между соседними плоскостями, можно вычислить результирующую матрицу системы. Этот метод не является новым, он давно используется для конструирования и анализа систем, применяемых в технике ускорителей для транспортировки заряженных частиц. Интересное описание этого приложения содержится в книге Стеффена [27].