1.2.2. Распространение импульса в двухуровневой резонансной среде

В этом разделе мы приведем пример того, как микроскопический подход позволяет вычислить точное значение вектора поляризации Рассматриваемый случай взаимодействия электромагнитного поля с двухуровневой системой является довольно общей моделью, описывающей физические ситуации, в которых происходит когерентное взаимодействие излучения с веществом.

Задача состоит в нахождении функциональной зависимости поляризации от амплитуды квазимонохроматической плоской волны, средняя частота которой совпадает с частотой перехода системы в отсутствие поля (рис. 1.3). Это требует решения уравнения Шрёдингера при наличии внешнего возмущения. Будем следовать полуклассическому подходу, когда электрическое поле считается классической величиной (это соответствует пренебрежению

Рис. 1.3. Двухуровневая система.

вкладом в электромагнитное поле от фотонов спонтанного излучения), а атомная система рассматривается в рамках квантовой механики, т. е. ее состояние представляется в виде суперпозиции собственных энергетических состояний соответствующих собственным значениям таким образом,

Вектор состояния должен удовлетворять временнбму уравнению Шрёдингера

где гамильтониан невозмущенной системы, внешнее возмущение, которое описывает взаимодействие поля излучения и атомов. В диполъном приближении, т. е. в случае когда длина волны значительно больше размеров атомной системы, это взаимодействие дается выражением Решив уравнение (1.2.8), т. е. определив зависящие от времени амплитуды выраженные через дипольный момент элементарной системы можно записать в виде

где

— электрический дипольный матричный элемент. Вектор поляризации получается суммированием вкладов от всех систем, находящихся в единичном объеме.

Предположим теперь, что в начальный момент времени каждый из атомов находится в состоянии либо а, либо и обозначим через скорость атома в направлении в котором распространяется электромагнитное поле. При этом частота его перехода в лабораторной системе координат будет равна Если теперь обозначить через функцию распределения частот обусловленную движением атомов в газе или наличием локальных кристаллических неоднородностей в твердом теле, то можно написать следующее выражение:

где число атомов в единице объема соответственно на верхнем и нижнем уровнях при а амплитуды и относятся к атому со средней частотой перехода имеющему координату в момент времени и находившемуся при в состоянии Множитель возникает вследствие усреднения по возможным ориентациям атомных систем, которые предполагаются изотропно поляризуемыми.

Случайные столкновения между атомами приводят к статистической неопределенности фаз Это означает, что для определения поляризации в макроскопических уравнениях Максвелла, [в частности, в (1.2.8)] необходимо провести усреднение по времени в выражении (1.2.21). Таким образом, необходимо найти скобки означают усреднение по ансамблю), т. е. недиагональные элементы матрицы плотности

Временная эволюция матрицы плотности может быть описана, исходя из уравнения Шрёдингера, с учетом феноменологических членов распада. Таким образом получают уравнения Блоха

Здесь точкой обозначено дифференцирование по времени, а уравнения (1.2.23) были феноменологически введены времена жизни состояний а также характерное время атомных столкновений Уравнения (1.2.23) можно переписать таким образом, что они будут описывать прецессию магнитного диполя в магнитном поле, что и было первоначально сделано Фейнманом, Верноном и Хеллуортом (см. также работы [5, 6]).

Поскольку мы ищем решение уравнений Максвелла, соответствующее линейно-поляризованной (см. разд. 1.3) узкополосной плоской волне с центральной частотой вблизи справедливы следующие выражения для

Здесь огибающая поля, а вещественные функции предполагаются медленно меняющимися по сравнению с временным и пространственным интервалами. Необходимо также заметить, что в электрическом дипольном приближении, как это следует

из (1.2.24), возмущение V равно Подставляя соотношения (1.2.24) и (1.2.25) в уравнение (1.2.8) и используя перечисленные выше условия и обозначения, имеем

где потери на единицу длины, а показатель преломления инертной среды, окружающей активные атомы.

Теперь необходимо добавить уравнения, описывающие эволюцию переменных их можно вывести из уравнений (1.2.23). После несколько утомительных расчетов (для более подробного ознакомления с ними мы отсылаем читателя к статье [7]) можно показать, что для симметричной относительно функции справедливо равенство Если предположить, что вклад в электрическое поле от спонтанного излучения пренебрежимо мал, то распределение поля полностью описывается двумя величинами, а именно функцией интегральной комплексной восприимчивостью

где элементы матрицы плотности относятся к атому, имеющему частоту перехода находящемуся в момент времени в точке с координатой и имевшему при состояние . Для медленно меняющихся амплитуд величина играет ту же роль, что и в соотношении (1.2.2). Это подтверждается следующим соотношением:

где Точнее говоря, распространение сигнала в двухуровневой среде описывается системой двух интегродифференциальных уравнений:

с граничным условием для электрического поля и начальным условием

Рассмотрим теперь некоторые предельные случаи, когда эта система уравнений принимает значительно более простой вид и становится аналитически разрешимой.