2.12. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙКОНАЛА МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ

Наиболее мощный метод решения волнового уравнения Гельмгольца состоит в отыскании подходящей системы ортогональных координат

для которых поле можно представить в виде произведения функций одной координаты Этот метод (разделение переменных) можно использовать и для решения уравнения эйконала, но в этом случае нужно представить в виде суммы функций одного аргумента Существование таких координат связано с функциональной зависимостью Ниже мы рассмотрим несколько практически важных случаев.

2.12.1. Декартовы координаты

Во многих практически важных случаях выбор соответствующей системы координат позволяет разложить квадрат показателя преломления на простые слагаемые [14]. В качестве предварительного примера рассмотрим случай, когда функция разделяется в декартовых координатах, т. е.

Если искать эйконал в виде

то уравнение (2.3.1) разделится на три следующих уравнения:

где — три постоянные, удовлетворяющие соотношению

Таким образом, можно написать

что

Последнее равенство является следствием выражений (2.4.1) и (2.12.1). Поскольку и

мы имеем

откуда (помощью выражения (2.12.6) получаем

Из соотношения (2.5.5) следует, что лучевое поле можно записать в виде

где функция сохраняет постоянным свое значение вдоль каждого луча. Таким образом, поле полностью определяется геометрией конгруэнции лучей и своим распределением на волновом фронте или (в более общем случае) на поверхности, пересекающей все лучи.

Заметим, что выражение для поля (2.12.12) расходится, когда какой-либо из множителей или с обращается в нуль. Таким образом, соотношения

определяют все возможные плоские поверхности каустик