5.10.1. Каустика дифрагированных лучей

Конгруэнция лучей, дифрагированных на границе отверстия, полностью аналогична конгурэнциям, рассмотренным в гл. 2. Заметим прежде всего, что граница сама по себе является каустикой дифрагированных лучей. Действительно, по определению каустикой называют геметрическое место точек, где сечение элементарной лучевой трубки стягивается в отрезок. Именно это имеет место на кромке отверстия. Следовательно, отличительной особенностью таких конгруэнций является, то что одна из поверхностей каустики сводится к криволинейному контуру. Форма и положение второй поверхности каустики определяется конкретной геометрией задачи дифракции (рис. 5.22) [26].

Рассмотрим для примера прямолинейную кромку, освещаемую из точечного источника 5. Построив дифрагированные лучи, нетрудно убедиться в том, что второй каустикой (рис. 5.23) является окружность, проходящая через Эта окружность лежит в плоскости, перпендикулярной кромке, а ее центр — на самой кромке. Следовательно, на каждом дифрагированном луче будет два фокуса. Один из них совпадает с точкой пересечения с кромкой, а другой лежит на том же расстоянии что от источника. С геометрической

Рис. 5.22. Геометрия в задаче о дифракции пучка лучей на краю отверстия. (Из работы [1]).

Рис. 5.23. Круговая каустика лучей, дифрагированных на прямолинейном крае, освещаемом точечным источником.

точки зрения присутствие кромки эквивалентно преобразованию начальной конгурэнции, имеющей центр в точке S, в конгруэнцию, каустики которой представляют собой прямую линию и окружность»

Для криволинейной границы вторая каустика определяется огибающей конгруэнции дифрагированных лучей, которая задается параметрически выражением (см. приложение I в статье Келлера [26])

здесь длина дуги границы, единичный вектор, касательный к границе в точке координата точки на границе. Дифференцируя это уравнение по получаем второе уравнение, которое вместе с (5.10.3) определяет векторы каустики, т. е.

здесь точка сверху буквы означает производную по радиус кривизны границы, главная нормаль границы (см. разд. 2.4.2), направленная от центра кривизны. Теперь, используя (5.10.3), можно заменить на так что уравнение (5.10.4) приобретает вид

где Таким образом, расстояние (с учетом знака) от границы до каустики запишется в виде

Следуя нашему первоначальному определению, величина должна быть отрицательной. Однако в последнем выражении может быть как отрицательной, так и положительной. Неравенство означает, что каустика является виртуальной и лежит на противоположной стороне от дифрагированного луча. Следовательно, вычисление необходимо начинать с выражения для дифрагированных лучей, аналогично (5.10.3), с той лишь разницей, что знак минус перед величиной нужно заменить на плюс. Для прямой кромки имеем

В этом случае величина одна и та же для всех лучей, выходящих из одной и той же точки Нетрудно проверить, что для точечного источниках величина совпадает с расстоянием так что каустикой является окружность, проходящая через и лежащая в плоскости, перпендикулярной кромке, причем центр этой окружности располагается на кромке (рис. 5.23).

В случае когда имеем

так что величина положительна при иными словами, положительна, когда проекция дифрагированных лучей на является отрицательной. В частности, для плоского отверстия, освещаемого в перпендикулярном к нему направлении, мы имеем так что Это означает, что перпендикулярная проекция каустики на плоскость апертуры совпадает с центром кривизны самой апертуры. Таким образом, каустикой является цилиндр, перпендикулярный апертуре и в сечении совпадающий с эволютой границы отверстия (рис. 5.24). Для круглого отверстия каустика стягивается в прямую линию, проходящую через центр круга. Цилиндр, продолженный за плоскость апертуры, представляет собой виртуальную каустику дифрагированных лучей, образующих угол больше чем с нормалью к границе. В общем случае наличие вещественной каустики обусловлено сильным дифрагированным полем. В разд. 5.8 мы уже приводили пример, когда поле дифрагирует на круглом отверстии.

В случае когда апертура не состоит из прямолинейных отрезков, каустики существуют лишь в ограниченных областях. Таким образом, соответствующие усиления или ослабления поля можно заметить лишь для отверстий, границы которых криволинейны. В определенном

Рис. 5.24. Цилиндрические каустики, образуемые лучами, дифрагированными на отверстии в плоском экране, освещаемом плоской волной. Сечение цилиндра является эволютой границы отверстия, а — общий случай; круговое отверстие. Каустика сводится к нормали, проходящей через центр.

смысле можно сказать, что они оказывают фокусирующее влияние на дифрагированные лучи.

В заключение следует подчеркнуть, что проведенное нами рассмотрение каустик не зависит от способа возбуждения дифрагированных лучей. Если даже лучи, попадающие на границу, вышли не из одного источника, выводы данного раздела остаются справедливыми.