2.14.1. Анизотропные среды

Проведенное рассмотрение можно обобщить и на тот случай, когда зависит как от так и от т. е. когда диэлектрическая проницаемость является тензором [20, 21] (см. разд. 1.4). Если определить функцию

то с ее помощью можно найти подходящее обобщение уравнения (2.4.6). Действительно, из (2.14.6) следует, что

или

Поскольку

уравнение (2.14.10) можно привести к виду

Это уравнение выведено в предположении, что является функцией величин причем Можно также представить в виде явной функции величин если учесть следующие соотношения:

При этом уравнение (2.14.12), а также аналогичные уравнения для осей относительно поверхности с нормалью можно переписать в виде

Уравнения (2.14.14) являются искомыми обобщениями уравнения (2.4.6) для анизотропной среды, в которой показатель преломления зависит от направления распространения.

Заметим, что полученные выше соотношения описывают траектории в виде узкого пучка лучей. В анизотропной среде такой узкий пучок распространяется параллельно вектору Пойнтинга (см. разд. 1.6), который оказывается направленным под некоторым углом к нормали к волновому фронту. Это указывает на различие между рассматриваемым случаем и изотропной средой, в которой лучи совпадают с траекториями, перпендикулярными волновым фронтам.

Заметим также для большей ясности, что в однородной анизотропной среде, согласно уравнениям (2.14.14), лучи представляют собой прямые линии. Напротив, волновые фронты, создаваемые точечным источником в той же среде, являются сфероидами, а линии, нормальные к волновым фронтам, в общем случае криволинейны.

Пример 1. Приложение к электронной оптике. Интересна аналогия геометрической оптики с движением электрона в области постоянных электрических и магнитных полей. Траекторию электрона можно определить с помощью эквивалентного показателя преломления определяемого выражением

где заряд электрона, его масса покоя, А — векторный потенциал и Скорость электрона связана со скалярным потенциалом релятивистским законом сохранения энергии:

Выражение (2.14.15) называют основным уравнением электронной оптики.

Если подставить выражение (2.14.15) для пэкъ в уравнение (2.14.14а), то получим

Пример 2. Преломление необыкновенного луча в одноосном кристалле. К выводу правильного соотношения между нужно отнестись с определенным вниманием. Поскольку единичный вектор касателен к траектории луча, необходимо использовать уравнение лучевой поверхности (см. разд. 1.4.1). В частности, для одноосного кристалла

где направления оптической оси (образующей угол а с нормалью к поверхности) и луча (параллельного вектору Пойнтинга) соответственно. Следовательно,

и для нормального падения луча из уравнения (2.14.146) мы имеем