2.14. СКАЛЯРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЛУЧЕЙ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ; ПРИНЦИП ФЕРМА

Метод разделения переменных можно с успехом использовать для определения траекторий лучей, если распределение показателя преломления обладает некоторой симметрией по отношению к криволинейной системе координат. Здесь мы хотим доказать важное следствие уравнения (2.4.6), позволяющее определить траектории для произвольного распределения

Для этого напомним, что геодезической линией метрического пространства называется траектория, длина которой стационарна при бесконечно малых изменениях траектории с фиксированными конечными точками. Рассмотрим метрическое пространство, точки которого совпадают с точками обычного пространства, но метрика изменяется в соответствии с функцией так что длина произвольной кривой между точками определяется как

Величину обычно называют оптической длиной. Докажем теперь, что кривые, для которых величина стационарна при фиксированных точках или (что эквивалентно) геодезические линии рассматриваемого пространства совпадают со всеми возможными решениями уравнения (2.4.6), т. е. со всеми возможными лучами. Если через (сопряженные точки) проходит большее число лучей, то в большинстве случаев эти лучи имеют одинаковую оптическую длину так что мы можем определить функцию совпадающую с оптической длиной лучей. Эту функцию называют точечной характеристикой среды, и ее свойства мы рассмотрим более подробно в разд. 2.15.

На языке вариационного исчисления сформулированное выше свойство означает, что оптический путь является экстремальным по отношению ко всем другим кривым, которые не удовлетворяют законам

оптики. Для доказательства этого вычислим вариацию 5 величины используя для простоты математических выкладок в качестве переменной интегрирования декартову координату (например, z):

Здесь точки над буквами означают дифференцирование по Любая кривая, соединяющая две фиксированные точки соответствует одной из возможных выборок пар непрерывных функций принимающих определенные значения на концах интервала Вариация длин соответствует следующему изменению этих функций: так что

Интегрируя по частям второй и четвертый члены в правой части этого выражения и учитывая возможную разрывность показателя преломления получаем

В правой части уравнения (2.14.4) второй член является суммой по поверхности разрывов функции связано с резкими изменениями при увеличении а третий член является суммой вкладов от областей, в которых непрерывна. Одинаковыми индексами в каждом из членов обозначено суммирование по х и у. Так как фиксированы, Поэтому первый член в правой части (2.14.4) равен нулю. Однако мы ищем геодезические линии, удовлетворяющие условию

при любых Из уравнения (2.14.4) следует, что это возможно, только если удовлетворяются следующие уравнения:

(уравнения Эйлера), дополненные условиями скачка на каждой поверхности разрыва:

Если использовать соотношения то сразу выяснится, что уравнения (2.14.6) совпадают со скалярными компонентами уравнения лучей (2.4.5) вдоль осей х и у. Очевидно, что то же самое верно и для оси Доказательство совпадения лучей с геодезическими линиями можно считать завершенным, если заметить, что уравнение (2.14.7) эквивалентно закону Снеллиуса. Это легко показать, выбирая, например, ось перпендикулярно поверхности разрыва, а плоскость в качестве плоскости падения. Более строгий вывод закона Снеллиуса из вариационных принципов содержится в работе Зацкиса [19].

Обычно соотношения (2.14.5) называют принципом Ферма. Согласно этому принципу, оптическая длина луча, соединяющего точки меньше оптической длины любой другой кривой, соединяющей эти точки и расположенной вблизи луча. Строго говоря, принцип Ферма справедлив лишь в том случае, когда точки расположены достаточно близко друг от друга. Покажем это на примере вогнутого сферического зеркала [1] (рис. 2.28). Пусть луч соединяет точки расположенные симметрично на прямой, проходящей через центр О сферического зеркала у. Эллипс с фокусами в точках лежит правее у, поэтому Следовательно, длина является относительным максимумом при смещении точки по поверхности зеркала. Обратная ситуация возникает, если рассматриваемые две точки располагаются достаточно близко к точке Из-за своей ограниченной применимости

Рис. 2.28. Иллюстрация к формулировке Каратеодори принципа Ферма [1].

принцип Ферма нуждается в уточнении. Каратеодори сформулировал его следующим образом: для каждой точки светового луча существует конечная окрестность, в которой принцип Ферма справедлив. (Обобщение принципа Ферма для дифрагированных лучей см. в разд. 6.7.)