5.4. КАУСТИКИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ; ДВЕ СОСЕДНИЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ТОЧКИ

С приближением точки наблюдения к каустике два или более лучей проходят через почти в одном и том же направлении. Математически это означает (рис. 5.8), что у функции две или более стационарных точек весьма близки друг к другу. Для определенности предположим, что имеются две такие точки, например и Поскольку в точках и между ними должна быть точка, скажем в которой Если поместить теперь начало координат в то главный член асимптотического приближения для дифракционного интеграла можно получить, записывая

где мы обозначили через а точку а обозначениям ииъа использовали соответственно для первой и третьей производных функции А в точке Необходимо заметить, что не является стационарной точкой и поэтому производная отлична от нуля. В случае когда очень близка к мы имеем

Рис. 5.8. Геометрия, используемая при вычислении поля вблизи каустики.

так что

Здесь расстояние между двумя стационарными точками. Интеграл в правой части выражения (5.4.1) — это функция Эйри (см. разд. 3.3. и рис. 5.9). Таким образом, мы можем написать

Однако известно, что [см. разд. 5.2.6, уравнение (5.2.41)]

где знакопеременная величина равна расстоянию, измеренному вдоль луча, от до каустики (величина положительна, когда лежит между центром кривизны и апертурой, и отрицательна в противном случае), угол, образованный двумя лучами, проходящими через Используя выражения (5.4.5) и (5.4.6), получаем соотношение

Из простого геометрического рассмотрения можно показать, что при малых величины и радиус кривизны каустики связаны простым соотношением (рис. 5.8)

Рис. 5.9. График функции Эйри для Функция осциллирует при отрицательных значениях х и экспоненциально затухает при

Рис. 5.10. а - интерференционные полосы вблизи каустики; б - изменение амплитуды поля вдоль луча; в — изменение амплитуды поля в перпендикулярном каустике направлении.

Поэтому, заменив на и положив окончательно получаем

Поскольку произведение постоянно вдоль луча, правая часть выражения (5.4.9) не зависит от положения опорной плоскости z = 0. Функция схематически показана на рис. 5.10, в. На каустике имеем

в то время как на некотором расстоянии от нее функцию Эйри можно заменить ее асимптотическим выражением [см. (3.3.6)], так что можно написать следующее выражение:

где представляет собой поле вдоль луча, проходящего через точки ; величина положительна, если лежит вне отрезка где точка пересечения с волновым фронтом. Два луча интерферируют, что приводит к типичной осциллирующей картине (рис. 5.10, б). Следует заметить, что каждое из полей при прохождении по касательной к каустике претерпевает сдвиг фазы Кроме того, эффективное волновое число изменяется как Это позволяет говорить, что вблизи каустики волна «замедляется».

Возвращаясь вновь к выражению (5.4.9), заметим, что

где расстояние по нормали от точки до каустики. Следовательно, выражение (5.4.9) можно переписать в виде

В этом выражении можно считать положительной или отрицательной величиной в зависимости от того, в тени или в светлой области лежит точка На рис. 5.10, в приведено распределение поля вдоль нормали к каустике.