Главная > Дифракция и волноводное распространение оптического излучения
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

3.7. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Как мы уже отмечали во введении, многослойные диэлектрические покрытия широко используются в настоящее время в оптических приборах. Типичный пример — диэлектрические зеркала в лазерных резонаторах, полностью отражающие или обеспечивающие вывод части излучения. Все такие устройства принадлежат к классу мультислоев. Но все же главной их особенностью является то, что размер неоднородности в них сравним с длиной волны. Вследствие этого их нельзя исследовать развитым выше методом, основанным на переходных функциях. Требуется развитие нового подхода, который позволил бы учесть эффекты многократного отражения на последовательности поверхностей разрыва, разделяющих отдельные диэлектрические слои стопы. Задачу можно упростить, если пренебречь конечностью поперечных размеров. В частности, пропускание мультислоя можно вычислить, считая радиус зеркала бесконечным. Возникающая при этом ошибка невелика. Кроме того, можно предположить, что показатель преломления постоянен по всей толщине каждого из слоев и резко изменяется лишь при переходе через границы раздела. Более общая ситуация рассмотрена в книге Бекмана и Спицичино и в статье Хандери, полные ссылки на которые приведены в библиографии в конце главы. Таким образом, мы будем рассматривать модель мультислоя, а именно последовательность пластин с неограниченными поперечными размерами, разделенных идеальными плоскопараллельными поверхностями. Показатель преломления каждой из пластин постоянен (рис. 3.8). Будем нумеровать пластины последовательно справа налево, причем индексом 1 отметим среду, наиболее удаленную от источника падающей волны. Предположим, что ось направлена поперек слоев, а плоскость падения плоской волны, приходящей

Рис. 3.8. Обозначения и система координат для описания мультислоя.

Нетрудно показать, что любая составляющая поля и запишется в виде

где постоянная, зависящая от направления распространения плоской волны, освещающей первую из пластин. Для решения рассматриваемой задачи удобно использовать теорию электрических цепей (см. гл. 2 и 5 в книге [3], цитируемой в гл. 2 настоящей книги). Для этого используем следующие обозначения:

Выражения (3.7.1) и (3.7.2) с учетом (1.1.1) — (1.1.4.) позволяют получить следующие уравнения для слоя, характеризуемого показателем преломления

где

Здесь волновое сопротивление вакуума, (в общем случае комплексный) — показатель преломления среды, а

Для вещественных угол (рис. 3.9) есть угол между направлением распространения волны в слое и осью перпендикулярной поверхностям раздела слоев. Среды с потерями будут рассмотрены в разд. 3.21. Множитель в уравнениях (3.7.3) определяется

Рис. 3.9. Направления распространения плоских волн, интерферирующих в многослойной системе.

выраженинием

так что соотношение (3.7.4) можно переписать в виде

где

есть характеристический волновой импеданс слоя. Индекс (или означает поперечную магнитную волну, для которой магнитное поле перпендикулярно оси т. е. параллельно плоскости раздела между последовательными пластинами (рис. 3.10,б). При этом

Дополнительный случай имеет место, если положить (ТЕ-волны, отмечаемые индексом Для этих поперечных электрических волн (рис. и справедлива система уравнений, аналогичная (3.7.3), причем необходимо сделать замену

В оптике ТМ-поля отмечают, как правило, индексом указывая на то, что вектор параллелен плоскости падения, ТЕ-поле — индексом указывая на то, что электрическое поле перпендикулярно (от немецкого слова senkrecht) плоскости падения.

Система уравнений (3.7.3) позволяет изучать распространение ТМ-или ТЕ-волн, используя аналогию с электрической линией передачи, состоящей из однородных секций (рис. 3.11) с соответствующими импедансами. Для каждой секции общее решение уравнений (3.7.3) записывается следущим образом:

Рис. поперечные магнитные и поперечные электрические волны.

Рис. 3.11. Эквивалентная линия передачи для мультислоя на рис. 3.8. Каждая из секций имеет длину, равную толщине соответствующего слоя.

где и постоянные, а импеданс совпадает с для ТМ-волн или для ТЕ-волн. Величины [равные для ТМ-волн и для ТЕ-волн] формально можно рассматривать как напряжение и силу тока в электрической цепи. Как принято в теории линий передачи, ток в верхней цепи считается положительным, если он направлен в положительном направлении оси При рассмотрении многослойных сред поставим в соответствие каждому из однородных слоев диэлектрика (обозначаемому нижним индексом элемент линии передачи с характеристическим импедансом и длиной

Указанная выше аналогия становится полной, если ввести понятие локального импеданса

для которого с помощью соотношений (3.7.10) можно получить выражение

Пусть рассматриваемый -й слой находится в сечении Тогда

Сравнивая выражения (3.7.12) и (3.7.13), получаем

Величина представляет собой измеряемое отношение разности потенциалов и тока в сечении в том случае, когда часть линии левее удалена и заменена на генератор электрического напряжения (рис. 3.12). Выражение (3.7.15) можно интерпретировать как соотношение, связывающее локальный импеданс в произвольной точке с его известным значением в некоторой точке той же пластины. На

Рис. 3.12. Схематическое представление измерения импедансов в произвольном сечении линии передачи на рис. 3.11.

самом деле произвол в выборе начала отсчета позволяет обобщить соотношение (3.7.15) следующим образом:

Рассмотрим теперь амплитудный коэффициент отражения определяемый как отношение обратной и прямой составляющих напряжения а именно

С помощью соотношений (3.7.10) и (3.7.11) это выражение можно переписать в виде

Заметим, что, в то время как наряду с величинами являются непрерывными функциями координаты импеданс представляет собой кусочно-непрерывную функцию, так что функция разрывна при левая граница слоя.

На каждой из границ разрыва можно определить также амплитудный коэффициент пропускания

который есть не что иное, как отношение к прямой составляющей непосредственно перед Отметим здесь, в чем состоит различие между ТМ- и ТЕ-волнами. Если мы ищем комплексную амплитуду полного электрического поля сразу за поверхностью то удобно определить новый коэффициент получаемый из подстановкой в выражение (3.7.19) соответствующих суммарных амплитуд электрического поля вместо При этом для нетрудно получить следующие выражения:

так как в этом случае V представляет собой полное электрическое поле. Формальное описание распространения волн в последовательности

слоев можно завершить, замечая, что из условия непрерывности тангенциальные составляющие поля связывают и с и следующими выражениями:

1
Оглавление
email@scask.ru