8.8. НЕНАПРАВЛЯЕМЫЕ МОДЫ

Решения характеристического уравнения, для которых величина вещественна и подчиняется соотношению [см. (8.5.6)]

определяют (см. разд. 8.5) дискретный набор волноводных мод, которые распространяются без ослабления вдоль волокна и экспоненциально затухают на больших расстояниях от оси. Однако для того, чтобы полностью описать электромагнитное поле, к первоначальному необходимо добавить непрерывный набор мод. С аналитической точки зрения такие моды получаются, когда коэффициенты [см. выражение (8.5.12)] отличны от нуля, а это означает, что у должна быть мнимой величиной, чтобы удовлетворить физическому условию обращения в нуль поля при Действительно, можно написать следующее асимптотическое выражение:

которое наряду с асимптотической зависимостью [см. выражение (8.5.13)] показывает, что допустимым являются лишь мнимые значения величины 7. Следовательно, из выражения (8.5.4) можно заключить, что принимает вещественные значения в интервале

а мнимые значения в интервале

Выбор положительных вещественных значений в (8.8.3) и отрицательных мнимых значений в (8.8.4) определяет соответственно моды, распространяющиеся в положительном направлении оси и моды, экспоненциально затухающие в том же направлении. Благодаря добавочной степени свободы, появившейся за счет сохранения члена в (8.5.12), условию непрерывности на границе раздела сердцевина — оболочка можно удовлетворить без обращения к характеристическому уравнению. Таким образом, величины могут теперь быть не дискретными, а принимать непрерывное множество значений в интервалах, определяемых неравенствами (8.8.3) и (8.8.4)

В общем случае электромагнитное поле, связанное с цилиндрическим волокном, можно записать в виде суперпозиции направляемых и непрерывных мод:

где первый член представляет вклад направляемых мод, обозначают относительные модовые конфигурации (зависимости от и для простоты опущены), соответствующие амплитуды, а второй и третий члены представляют вклады непрерывных мод, для которых соответственно

Таким образом, если то имеют место следующие неравенства:

Непрерывные моды, удовлетворяющие условию (8.8.8), для которых величина вещественна, называются радиационными модами, а моды, удовлетворяющие условию (8.8.9), называются затухающими модами.

Описание электромагнитного поля с помощью выражения (8.8.5) на практике оказывается слишком сложным. Поэтому в большинстве случаев при рассмотрении распространения волн предпочитают

использовать приближенное описание, в котором радиационные моды заменяются соответствующим набором дискретных мод (мод утечки) [7], которые экспоненциально затухают в положительном направлении оси Эти моды вместе с направляемыми модами с хорошей точностью представляют электромагнитное поле в сердцевине волокна и в ее окрестности (так что при достаточно больших поле описывается одними лишь направляемыми модами). Это не противоречит тому факту, что отдельно взятая радиационная мода не затухает с расстоянием поскольку любое реальное поле, переносящее энергию по волокну, представляет собой интеграл по конечной области значений и именно этот интеграл стремится к нулю при достаточно больших

Спектр мод утечки получается естественным образом, если выбрать решения (3 характеристического уравнения с отрицательной мнимой частью и вещественной частью удовлетворяющей неравенству (8.8.3), что, как и следовало ожидать, соответствует направлениям распространения, образующим с осью угол, больший чем При этом мода будет направляемой, если частота поля больше критической, и модой утечки в противоположном случае.

Заметим, что в соответствии с выражением (8.5.4) и условием (8.8.3), а также с учетом того обстоятельства, что (32 отрицательна при отрицательной вещественной части величины у, из (8.5.13) сразу находим, что моды утечки расходятся при Это означает, что в области, не слишком удаленной от границы раздела сердцевина — оболочка, электромагнитное поле, распространяющееся вдоль волокна, может быть представлено в виде суперпозиции направляемых мод и мод утечки (см. также разд. 3.19).