2.12.3. Сферические координаты

Если переменные для разделяются в сферических координатах и распределение симметрично относительно оси т. е.

то эйконал имеет вид и нетрудно показать, что имеют место следующие соотношения:

если записать уравнение (2.3.1) в сферических координатах. Затем обычным образом можно получить

где функция постоянна вдоль луча.

Пример. Рассеяние на теле конечных размеров. Если выбрать параметры то выражение (2.12.37) для случая однородной среды вне сферы радиусом сводится к сферической волне (сферические волновые фронты)

где без потери общности мы выбрали Исходя из этого выражения, можно построить ряд Лунеберга — Клейна. Для этого заметим, что, выражая оператор в сферических координатах и используя зависимость оператор в (2.6.6) можно записать в виде

где

Нижний предел интеграла в (2.12.39) равен поскольку мы предположили, что при [см. вывод выражения (2.6.6)]. Отсюда следует, что (2.12.38) является точным выражением для поля при Если теперь положить

то выражение

вместе с рекуррентными соотношениями (2.6.7) и разложением (2.2.5) приводит к тому, что поле можно записать в виде

Коэффициенты удовлетворяют рекуррентным соотношениям

где Это легко доказать, раскладывая в ряд по сферическим гармоникам которые являются собственными функциями оператора Таким образом, ряд (2.12.43) оказывается суммой членов, каждый из которых является произведением и сферических функций Ханкеля (см. разд. 6.12).

С интуитивной точки зрения из выполненных выше расчетов следует, что поле можно вычислить в любой точке (по крайней мере в смысле Лунеберга — Клейна), если известно его распределение в дальней зоне. Это свойство тесно связано с возможностью интегрального представления поля с учетом его значений на поверхности (см. разд. 4.2.2).

Рассмотрим поток вектора через сферу:

Отсюда следует, что величина пропорциональна мощности, излучаемой в телесный угол а весь интеграл пропорционален полной мощности, излучаемой в бесконечность.

Можно рассмотреть также случай среды, неоднородной при и освещаемой плоской волной единичной амплитуды. В этом случае величина представляет собой поле рассеяния на бесконечности. Амплитуда рассеяния [3] равна/(см. разд. 6.11), а величина

является дифференциальным сечением, которое зависит от структуры рассеивающей среды. Как будет видно в следующем разделе, величину о можно вычислить, прослеживая изменение поля и вдоль каждого луча коллимированной конгруэнции, описывающей изначально плоскую волну. Эти вычисления существенно упрощаются, если неоднородная среда имеет центр симметрии.