7.16.1. Конфокальный резонатор
Уравнение (7.16.4) в общем случае можно решать численными методами, хотя нередко можно получить и аналитические решения. Примером последнего случая является конфокальный резонатор 
для которого уравнение (7.16.4) принимает вид
где 
Собственные функции этого уравнения, как было первоначально показано Ландау, Слепяном и Поллаком [38, 39], а также Бойдом и Гордоном [40], могут быть выражены через угловые и радиальные функции вытянутого сфероида соответственно 
Они являются решениями дифференциального уравнения
которое имеет непрерывные решения в интервале 
лишь при определенных вещественных положительных значениях параметра х таких, что 
Каждому собственному значению 
при 
соответствует только одно ограниченное решение 
такое, что 
где 
— полином Лежандра степени 
Функции 
называемые угловыми функциями вытянутого сфероида, на отрезке 
образуют полный набор ортогональных вещественных функций, непрерывных по с при 
Функции 
на отрезке 
имеют точно 
нулей и при 
сходятся равномерно к 
причем четность функции 
совпадает с четностью 
Собственные значения 
являются непрерывными функциями параметра с, и 
Можно показать, что собственные значения 
уравнения (7.16.6), соответствующие собственным функциям 
даются выражением
где 
так называемые радиальные функции вытянутого сфероида, которые отличаются от 
лишь вещественным множителем 
причем
В соответствии с выражением (7.16.8) в конфокальном резонаторе с зеркалами в виде двух бесконечных полос фазовый сдвиг 
[см. соотношение (7.14.10)] кратен 
так что в том же резонаторе с прямоугольными зеркалами фазовый сдвиг 
будет кратен 
Заметим, что данное утверждение справедливо для любых резонаторов с конечным размером зеркал. Свойство фазы изменяться только на
целое число 
позволяет использовать данные резонаторы в качестве интерферометров, поскольку их резонансные частоты не зависят ни от числа Френеля, ни от порядка возбуждаемой моды. Этот факт легко объясняется в рамках приближения геометрической оптики: независимо от угла падения путь произвольного луча при полном проходе резонатора равен 
Таким образом, если конфокальный резонатор используется в качестве интерферометра, то положение резонансных частот такого интерферометра не зависит от направления распространения луча, на что впервые указал Конн (см. разд. 7.21.4).
