5.10.2. Дифракция на острие
Для того чтобы вычислить
можно применить формулы разд. 5.2, положив
При этом получаем
здесь
координаты стационарной точки. Производная
вычисляется следующим образом. Во-первых, заметим, что
и поэтому
Кроме того, для вектора
имеем
где
— соответственно нормаль и радиус кривизны отверстия. Следовательно,
здесь
совпадает с величиной, введенной в (5.10.5). Окончательно уравнения (5.10.11) и (5.10.13) сводятся к виду
где мы заменили
на
[см. выражение (5.10.6)]. Используя выражение (4.14.20), получаем
Рис. 5.25. Геометрия, используемая при вычислении поля, дифрагированного на острие.
Для того чтобы вычислить
разложим векторы
на составляющие вдоль вектора
и в плоскости, перпендикулярной
Если обозначить через
углы, образованные проекциями векторов
и касательными к поверхности экрана векторами
(рис. 5.25), то можно показать, что
так что
Как следствие, объединяя уравнения (5.10.14) и (5.10.18), получаем
поскольку условие
соответствует стационарной точке.
Окончательно выражение (5.10.9) с учетом (5.10.19) запишется в виде
где
амплитуда волны, падающей на граничную точку
коэффициент дифракции, аналогичный величине
введенной в разд. 5.2.6, и совпадающий с выражением (29) из работы Келлера и др. [27], причем
Миамото и Вольф (см. книгу Рабиновича [32], указанную в литературе к гл. 4 настоящей книги) показали, что при освещении апертуры произвольным лучевым полем дифрагированную волну в пределе малых длин волн можно представить с помощью ГДВ. Поэтому если проследить снова за всеми выполненными выше преобразованиями, то нетрудно прийти к заключению, что выражения (5.10.20) и (5.10.21) остаются справедливыми для любых падающих лучевых полей
. Келлер и др. [27] получили выражение (5.10.20), используя асимптотическое разложение дифракционного интреграла. При этом они нашли такое же выражение для коэффициента
(индекс К означает, что дифракционное поле вычислялось с использованием замкнутой интегральной формулы Гельмгольца — Кирхгофа). Заметим здесь, что
отличается от коэффициента
в выражении (5.2.48), за исключением случая, когда
. В разд. 6.2 мы еще вернемся к обсуждению этого расхождения.