2.11. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ВОЛНОВОГО ФРОНТА НА НЕПЛОСКОЙ ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД

Одна из наиболее важных задач в оптике состоит в определении изменения волнового фронта при прохождении через последовательность линз. Это требует решения канонической задачи о преломлении конгруэнции лучей на неплоской поверхности раздела между двумя однородными средами, имеющими показатели преломления соответственно Вопросы, на которые при этом нужно ответить, связаны с отклонением направления падающего луча и с изменением локального волнового фронта, где под «локальным» мы понимаем небольшой участок волнового фронта, через который проходит луч. Благодаря своей малой протяженности этот участок можно представить как поверхность второго порядка, характеризуемую своими главными радиусами кривизны. Поэтому задачу можно сформулировать иначе — необходимо установить связь между радиусами кривизны непосредственно до и после пересечения границы раздела. Нейсли [11] получил простые соотношения, которые мы проиллюстрируем в следующем разделе, где также кратко рассмотрим дифференциальные свойства поверхности.

2.11.1. Локальная сшивка падающего и преломленного полей вдоль неплоской границы раздела

Рассмотрим поле, падающее на искривленную поверхность разрыва показателя преломления. Для обеспечения непрерывности тангенциальных к поверхности электрических и магнитных компонент (что и следует из уравнений Максвелла) необходимо рассмотреть как отраженные, так и преломленные поля. Мы будем обозначать их соответственно двумя и одним штрихами (рис. 2.19). В приближении лучевого поля на границе раздела можно написать следующие условия сшивки:

Рис. 2.19. Отражение и преломление на поверхности разрыва показателя преломления. Единичные векторы лежат в плоскости падения и перпендикулярны и.

которые обеспечивают соответственно непрерывность электрической и магнитной тангенциальных компонент (см. разд. 2.8.2). Действительно, символом 1 мы обозначаем единичный тензор, единичный вектор, ортогональный поверхности, так что представляет собой проекцию вектора V на поверхность.

В то время как амплитуды это медленно меняющиеся функции, фазовый множитель таковым не является. Поэтому приведенные векторные соотношения могут выполняться, только если приращения тождественно равны нулю на поверхности разрыва. Пусть показатель преломления в области преломленного луча, области падающего и отраженного лучей. Используя (2.4.1) и (2.9.1), эти условия можно записать в виде

При этом должно быть выполнено дополнительное условие, заключающееся в том, что точка должна принадлежать поверхности т. е.

где

Если домножить уравнение (2.11.4) на произвольное число и сложить его с (2.11.36), то получим уравнение

которое для бесконечно малых приращений сводится к уравнению

Для того чтобы соотношение (2.11.7) выполнялось при любом тангенциальном поверхности, т. е. ортогональном вектору вектор должен быть параллелен Это условие эквивалентно закону Снеллиуса

связывающему углы падения и преломления определяемые соответственно как угол между и угол между При этом направление вектора таково, что Кроме того, параллельность векторов означает, что существует такое число 7, что

причем

Отсюда следует, что плоскость падения совпадает с плоскостью преломления Это утверждение вместе с соотношением (2.11.8) составляет содержание хорошо известного закона преломления (закона Снеллиуса), установленного в 1621 г. голландским математиком из Лейденского университета Виллебрордом Снеллиусом и независимо французским философом и математиком Рене Декартом (см., например, работу

Умножая скалярно выражение (2.11.9) на получаем

При первый член в уравнении (2.11.6) обращается в нуль, и мы имеем

Это означает, что если тензор в квадратных скобках не равен нулю, то элемент поверхности разрыва лежит на конусе с вершиной в точке Поскольку мы рассматриваем регулярную точку поверхности, необходимо заключить, что

В частности, мы имеем следующие соотношения:

где — соответственно средняя и гауссова кривизна соответствующего волнового фронта, символом обозначается след, а определитель двумерных матриц, образованных первыми двумя строками трехмерных матриц из (2.11.13), где третью координатную ось мы выбрали ортогональной главным осям [относительно множителей при определении величин см. обсуждение после формул (2.11.23)].