5.6. МЕТОД НАИБЫСТРЕЙШЕГО СПУСКА

В некоторых случаях из-за медленной сходимости асимптотического ряда, представляющего дифракционный интеграл, метод стационарной фазы применять нельзя. Это особенно явно проявляется в одном важном частном случае, когда распределение поля на опорной плоскости является гауссовым. Рассмотрим следующий дифракционный интеграл:

где вещественные числа. Если положить и то используя выражение (5.2.32), получаем

Это выражение отличается от точного результата (5.6.1), особенно в тех случаях, когда сравнимы с С физической точки Зрения представляет собой поле с гауссовым распределением и в направлении с на расстоянии В дальней зоне при точное выражение (5.6.1) имеет асимптотику в то время как разложение (5.6.2) приводит к Отсюда следует, что метод стационарной фазы не может правильно описать расходимость пучка при его распространении.

Улучшить метод стационарной фазы можно за счет введения комплексной функции Обобщение фазовой функции на комплексные значения аргумента приводит к некоторым

Рис. 5.12. Примеры поверхностей вблизи простой седловой точки (а), седловой точки второго порядка (называемой также «обезьяньим седлом») (б) и двух седловых точек (в). Заштрихованные области представляют проекции соответствующих долин на плоскость

проблемам, связанным с решением уравнения которое в общем случае будет иметь комплексные корни. Если эти корни не являются вещественными, то не будет и точек на вещественной оси, где вещественная и мнимая части величины А одновременно обращаются в нуль. Эту трудность можно преодолеть, изменяя контур интегрирования таким образом, чтобы он проходил через комплексные корни уравнения Вследствие того, что функция предполагается

Рис. 5.13. Трехмерный график функции (с любезного разрешения П. Лучини).

аналитической, вблизи точки функции и описывают квадратичйые поверхности с седловой точкой в В соответствии с этим стационарные точки функции называются седловыми точками [14] (рис. 5.12 и 5.13).

Если аналитическая функция, то она удовлетворяет дифференциальным уравнениям Коши — Римана

где . С геометрической точки зрения эти уравнения означают, что семейства кривых взаимно ортогональны. Следовательно, кривая всюду касательна градиенту Кривая представляет собой путь, вдоль которого изменяется наиболее быстро (рис. 5.14 и 5.15). Вследствие этого кривую называют контуром наибыстрейшего спуска (или подъема). В дальнейшем мы будем использовать сокращенное название КНС, подразумевая при этом проходящий через седловую точку контур наибыстрейшего спуска для функции

Рис. 5.14. Долина и холмы функции Непрерывные кривые — штриховые кривые — штрихпунктирные кривые —

Рис. 5.15. Контуры наибыстрейшего спуска функции

Предположим на время, что седловая точка единственная и Тогда сделанные нами предварительные замечания свидетельствуют о необходимости изменить путь интегрирования, проходящий вдоль вещественной оси, на Таким образом, можно написать следующее выражение:

где набор контуров, окружающих разрезы функции если таковые есть, вычет в полюсе функции лежащем между первоначальным контуром и Преимущество разделения интеграла на две части, одна из которых вычисляется вдоль КНС, связано с тем, что вдоль КНС функцию можно записать в виде Следовательно, замечая, что вдоль КНС функция имеет единственный максимум в точке и при отходе от него монотонно уменьшается, можно выполнить следующее преобразование:

где Следовательно, в выражении (5.6.4) интеграл, вычисляемый вдоль КНС, можно преобразовать к виду

При множитель быстро убывает при удалении от точки и главный вклад в интеграл дают значения вблизи седловой точки. Таким образом,

В частности, интеграл углового спектра в выражении (4.9.12) запишется в виде

Последнее выражение подтверждает, что интеграл углового спектра при вычислении его по КНС можно рассматривать как цилиндрическую волну с угловым распределением (ср. с разд. 4.9.2).