8.7. ВОЛОКНА С ПАРАБОЛИЧЕСКИМ ПРОФИЛЕМ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ

Изучение распространения направляемых мод в волокне с параболическим профилем показателя преломления можно упростить, если предположить, что показатель преломления мало меняется на расстоянии порядка длины волны и что его параболическая зависимость остается справедливой для любого (таким образом, допускаются сколь угодно большие значения ) (рис. 8.12). Последнее предположение подтверждается результатами, полученными в разд. 8.3 относительно траектории направляемых лучей, откуда можно сделать вывод, что по крайней мере моды низших порядков локализуются вблизи оси волокна, так что они нечувствительны к изменениям показателя преломления при больших Таким образом можно избежать трудностей, связанных с необходимостью согласования тангенциальных компонент поля на границе раздела сердцевина — оболочка и перейти непосредственно к скалярной теории поляризованных мод в декартовых координатах.

Согласно уравнению (1.1.9), любая декартова компонента электрического поля удовлетворяет (в скалярном приближении) уравнению

в котором мы учли параболический профиль показателя преломления (8.3.3). В декартовых координатах этот профиль запишется в виде

После разделения переменных, а именно записывая уравнение (8.7.1) можно записать в виде

Рис. 8.12. Реальный и идеальный профили показателя преломления в виде параболы.

или (что эквивалентно) в виде двух уравнений

где постоянная разделения. После введения безразмерных переменных

уравнения (8.7.4) и (8.7.5) принимают вид

причем

Уравнение (8.7.8) [или (8.7.9)] хорошо известно: это уравнение Шредингера для одномерного гармонического осциллятора, и его решение можно найти в любом учебнике по квантовой механике. Можно показать, что уравнения (8.7.8) и (8.7.9) имеют решения, которые конечны и непрерывны во всем пространстве и стремятся к нулю при тогда и только тогда, когда

Эти решения записываются в виде

где полином Эрмита порядка (см. разд. 7.8 и табл. 7.2, а также выражения в приложении В).

Учитывая представленное выше рассмотрение, можно написать следующий набор линейно-поляризованных направляемых мод:

где нормировочный множитель выбран таким образом, чтобы

Подставляя выражения (8.7.12) и (8.7.13) в (8.7.10) и (8.7.11), получаем постоянную распространения

Для мод низших порядков, поскольку благодаря пренебрежимо малому изменению показателя преломления на расстоянии, равном одной длине волны, выражение (8.7.18) принимает вид

Результаты этого раздела можно сравнить с теми, которые мы получили в рамках геометрической оптики в гл. 2 (см. разд. 2.12.1а) для параболического профиля показателя преломления в радиальном направлении [см. выражение (2.12.14)]. В частности, интересно сравнить распределение мод, определяемое выражением (8.7.16), с распределением поля, определяемым выражением (2.12.17), и отметить замечательное совпадение двух выражений для постоянных распространения [а именно (2.12.21) и (8.7.18)], полученных двумя полностью различными методами.