Рис. 4.2. Область поля, ограниченная двумя замкнутыми поверхностями.
где оператор V действует на координату
Для наших целей удобно ввести функцию
удовлетворяющую неоднородному волновому уравнению
где
трехмерная
-функция. Любая функция
удовлетворяющая линейному дифференциальному уравнению, правая часть которого записывается так, как в (4.2.2), называется функцией Грина оператора, стоящего в левой части того же уравнения. Из уравнений Максвелла получаем следующее уравнение:
которое при
сводится к (2.8.1). Используя приближение скалярной теории, т. е. пренебрегая третьим членом в левой части уравнения (4.2.3), имеем
здесь
— любая из декартовых компонент вектора
а функция А — соответствующая компонента вектора в правой части уравнения (4.2.3). Поскольку и линейно зависит от А, можно использовать принцип суперпозиции и записать следующее выражение:
где
решение уравнения (4.2.2). В частном случае, когда
из (4.2.5) следует
т. е. любое решение
порождаемое
-источником, расположенным в точке
является функцией Грина
Уравнение (4.2.2) имеет бесконечное множество решений, каждое из которых определяется своими значениями на поверхности
Во многих случаях, используя формальную идентичность уравнений (4.2.2) и (4.2.4), удобно рассматривать только те решения, которые связаны с источниками внутри объема К, а не вне поверхности
Другой тип функций Грина можно получить, рассматривая внешние по отношению к V источники так, чтобы удовлетворялись соответствующие граничные условия.
Для неограниченной однородной среды (показатель преломления не зависит от
) функция Грина уравнения (4.2.2) записывается в виде (см. задачи 5 и 6 в гл. 1):
Рассмотрим теперь компоненту и поля, удовлетворяющую однородному волновому уравнению
Умножая (4.2.8) и (4.2.2) соответственно на
и вычитая полученные уравнения одно из другого, находим простое соотношение:
Полагая
и используя уравнение (4.2.9) в соотношении (4.2.1), получаем интегральную теорему Гельмгольца — Кирхгофа (которую называют также теоремой Грина):
Функция
называемая векторным полем Гельмгольца, определяется выражением
При написании выражения (4.2.10) мы поменяли ролями
так
что интеграл и производные должны вычисляться относительно координаты
как это указывается символом
Следует заметить, что из (4.2.9) вытекает соотношение
справедливое всюду, кроме точки
Таким образом, согласно теореме Гаусса, интеграл в правой части равенства (4.2.10), а тем самым и
не зависят от выбора поверхности
ограничивающей объем, включающий в себя точку наблюдения
Если интеграл Гельмгольца — Кирхгофа берется по поверхности
характеризуемой поверхностным импедансом
то величину
можно представить как функцию только от и [см. уравнение (3.23.5)], так что уравнение (4.2.10) принимает вид
где
Соотношение (4.2.13) особенно полезно при рассмотрении дифракции от металлических предметов с конечной проводимостью. В этом случае
совпадает или с комплексным показателем преломления
или с обратной ему величиной в зависимости от поляризации поля, перпендикулярной или параллельной плоскости падения [см. выражения сразу за (3.23.5)]. Для однородной среды, ограниченной поверхностью
функция Грина определяется выражением (4.2.7), так что из (4.2.13) имеем
здесь
В соответствии с выражением (4.2.10) поле
полностью определено, если оно задано вместе с производной по нормали на замкнутой поверхности, ограничивающей интересующий нас объем. Однако при этом мы еще не можем получить распределение поля. Действительно, чтобы воспользоваться выражением (4.2.10), должна быть известна функция Грина для конкретного закона изменения показателя преломления и конкретных граничных условий, определяемых рассеивающими объектами, диафрагмами и т. д. Формально мы можем рассматривать
на поверхности
как входные данные линейной системы, отклик которой и
дается интегралом (4.2.10). Следовательно, оптическую систему можно сравнить с черным ящиком, входными параметрами которого являются
заданные на
хотя, как мы покажем ниже, их нельзя варьировать независимо. При этом
функция Грина представляет собой аналог импульсного отклика электронного устройства.
Первый из способов определения поля, создаваемого точечным источником, т. е. функции
основывается на методах геометрической оптики. Если источник расположен в точке
то можно определить траектории лучей, выходящих из
и соответствующие волновые фронты. В общем случае из-за неоднородности среды траектории лучей являются криволинейными. Если внутри объема можно выделить поверхность, на которой показатель преломления меняется скачком, то электромагнитная волна испытывает частичное отражение и преломление. В некоторых случаях конгруэнции отраженных и падающих лучей перекрываются, что приводит к сложной дифракционной картине (рис. 4.3). Кроме того, преломленные лучи могут покинуть диэлектрик лишь в том случае, когда они попадают на ограничивающую его поверхность под углом, который меньше критического. Чтобы учесть это, нужно использовать формулы Френеля
для коэффициентов пропускания и отражения волн, падающих на поверхности разрыва показателя преломления
Как только определены траектории лучей, можно в принципе вычислить амплитуды поля
используя транспортные уравнения [см. (2.6.4)]. Структура этих уравнений такова, что пренебречь высшими членами разложения
в рядах Лунеберга — Клейна нельзя, если
быстро изменяется в пространстве. Например, изображенные на рис. 4.3 лучи резко изменяют направление своего распространения, пересекая
Рис. 4.3. Схематическое представление поля, дифрагированного на прямоульном диэлектрическом клине. Прошедшие, отраженные и преломленные лучи, отходящие от клина, окружены критическими областями, где поле существенно отличается от предсказаний геометрической оптики.
Дважды применяя закон Снеллиуса (2.11.8), легко показать, что угловое отклонение луча после попадания из вакуума на кромку диэлектрического клина с показателем преломления
и углом
дается выражением
где
угол падения. Таким образом, поле в заштрихованных на рис. 4.3 участках испытывает быстрые изменения и необходимо учитывать все амплитуды высших порядков
Функцию Грина неоднородной среды можно также вычислить, используя совсем иной метод. Он применим, например, если распределение показателя преломления обладает аксиальной симметрией и характеризуется дискретным набором волноводных мод [выражение (2.12.17)]. Как мы покажем, в этом случае функция Грина представима в виде разложения в ряд по соответствующим модам.
В общем случае построение функции Грина основывается на последовательном переборе и учете всевозможных факторов — свободного распространения, дифракции на канонических (диафрагмы, клинья и т. п.) и других гладких препятствиях общего вида, отражения и преломления на границах разрыва
Во многих случаях вычисление функции Грина упрощается тем, что источник находится на бесконечности и, следовательно, поле от него можно представить плоскими волнами.