4.4. УСЛОВИЕ ЗОММЕРФЕЛЬДА НА ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ

Формулируя после вывода соотношения (4.2.20) принцип Гюйгенса, мы неявно использовали одно предположение. А именно, предполагалось, что поле в точке наблюдения образуется вторичными волнами, исходящими лишь с поверхности волнового фронта. При этом мы пренебрегли вторичными источниками на бесконечно удаленной поверхности, которая вместе с волновым фронтом должна образовывать замкнутую поверхность, фигурирующую в интегральной теореме Гельмгольца — Кирхгофа. Теперь мы покажем, что для весьма общего класса полей поверхностью на бесконечности действительно можно пренебречь. С этой целью рассмотрим замкнутую поверхность, состоящую из ограниченного почти плоского участка (не обязательно совпадающего с волновым фронтом) и части сферы с центром в точке наблюдения и радиусом (рис. 4.7). Учет поверхности приводит к следующему вкладу в [выражение (4.2.16)]:

где элемент телесного угла.

Если источники поля находятся с противоположной по отношению к стороны плоского участка, то пределы интегрирования на

Рис. 4.7. К выводу излучательного условия Зоммерфельда.

поверхности можно устремить к бесконечности. Поэтому остается оценить асимптотическое поведение интеграла (4.4.1) при Этот интеграл стремится к нулю, если выполнено условие

которое называется излучателъным условием, или условием Зоммерфельда на поле излучения [11].

Поля, удовлетворяющие условию (4.4.2), называются полями излучения. Для них интеграл Гельмгольца — Кирхгофа можно вычислять по бесконечной незамкнутой поверхности отделяющей точки наблюдения от источников. Условие (4.4.2) выполняется для полей, имеющих следующее асимптотическое поведение:

которое соответствует расходящейся сферической волне с диаграммой направленности Однако во многих случаях довольно трудно определить из интегрального выражения, удовлетворяет ли поле условию Зоммерфельда. Можно предложить следующий практический совет, основанный на приведенном выше условии для расходящейся сферической волны. Будем считать, что поле удовлетворяет соотношению (4.4.2) при условии, что замена где бесконечно малая положительная величина, приводит к равенству нулю интеграла при