Главная > Дифракция и волноводное распространение оптического излучения
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

3.18. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТА ОТРАЖЕНИЯ

Для многослойной области с кусочно-постоянным показателем преломления коэффициент отражения в любом сечении определяется различными постоянными распространения зависящими от конкретного слоя [см. выражение (3.7.17)]. Каждая величина если ее рассматривать как функцию комплексной переменной имеет две точки ветвления где и все производные высших порядков сингулярны.

Двузначная функция может быть определена как однозначная, если в комплексной плоскости провести разрезы, такие, что (рис. 3.28,б):

Две кривые, определяемые уравнениями (3.18.1), являются участками гиперболы, проходящей из точек ветвления к вещественной оси в -плоскости. При они вырождаются в две полупрямые, как

Рис. 3.28. Разрезы в комплексной плоскости используемые для однозначного определения зависимости коэффициента отражение от для вещественного {а) и комплексного (б) показателей преломления.

показано на рис. 3.28, а. Поскольку выполненные разрезы определяют все точки, для которых является неположительной вещественной величиной, функция всегда положительна (или отрицательна) на всей остальной части плоскости. Это свойство весьма полезно для качественной интерпретации происходящих физических процессов. Действительно, так как падающая волна, для которой справедливо выражение (3.7.17), проходит слева направо величина должна быть положительной. Таким образом, мы установили взаимно-однозначное соответствие между распространяющимися в прямом направлении волнами и теми величинами которые определяются на римановом листе, задаваемом указанными выше разрезами. Если рассмотреть всю гиперболу, определяемую первым выражением (3.18.1), то нетрудно показать, что положительность означает выполнение неравенства в незаштрихованных областях и в заштрихованных областях на рис. 3.28. Более кратко это можно записать следующим образом:

Рассмотрим коэффициент отражения в данном сечении мультислоя как функцию поперечной компоненты волнового вектора падающей волны и воспользуемся выражением (3.7.18). При этом мы видим, чтофункция имеет полюсные сингулярности в нулях функции и точки ветвления, совпадающие точками ветвления функций и Точки ветвления функции удобно исследовать, переписав выражение (3.17.16) в виде

Поскольку как так и являются нечетными функциями величины они же являются регулярными функциями постоянной распространения при Следовательно, точками ветвления функции являются только точки ветвления функции Применяя последовательно выражение (3.18.3) Для различных слоев, можно сделать вывод о том, что точки ветвления импеданса в данном направлении не зависят от локального положения оси расслоения. В частности, эти особые точки совпадают с точками ветвления в последней справа среде (при ориентации импеданса слева направо) или в последней слева среде (в противоположном случае). Следовательно, функция для подложки, покрытой некоторым диэлектрическим мультислоем, имеет четыре точки ветвления

при где показатель преломления окружающей среды.

В частности, в ограниченной области комплексной -плоскости коэффициент отражения можно записать в виде рациональной

При этом выполняется очевидное условие четности функции Полюсы коэффициента рассеяния многослойной системы совпадают с резонансными поперечными волновыми числами и дают все возможные решения уравнений Максвелла в пространстве без источников. С интуитивной точки зрения поскольку при приближении к полюсу, амплитуда падающей волны может стремиться к нулю, но по-прежнему она будет возбуждать отраженную волну конечной амплитуды.

Можно ожидать, что рассматриваемые полюсы будут соответствовать векторам к, имеющим и мнимую составляющую, когда мы имеем дело с волнами, распространяющимися по волноводу (свето-водные моды). Действительно, как станет ясно при рассмотрении задачи о распространении болн в оптических волокнах, передающиеся вдоль диэлектрической структуры моды затухают в направлении, поперечном направлению распространения волны. Подчеркнем тот факт, что в плоскослоистой среде моды будут распространяться параллельно поверхности слоев и экспоненциально затухать в направлении расслоения

В среде без потерь корни уравнения

являются полюсами коэффициента отражения, соответствующими распространяющимся модам (вдоль оси структуры. Остальные комплексные корни соответствуют дискретному набору немодовых решений уравнений Максвелла в пространстве без источников. Строго говоря, эти решения нельзя назвать «модами», так как по определению модового решения величины не должны зависеть от х. Такая независимость имеет место лишь при вещественных [см. (13.7.1)]. Поэтому о решениях с мнимыми говорят как о «волнах утечки», или «затухающих резонансах». Несмотря на их физически неприемлемое поведение в далекой области (где амплитуда стремится к бесконечности), такие решения можно использовать как хорошее приближение для истинных полей, передающихся вдоль оси х с одновременной сильной утечкой энергии в направлении оси

Из проведенного выше рассмотрения следует, что полюсами

Рис. 3.29. а — профиль поверхностной волны, распространяющейся перпендикулярно оси расслоения в отражателе Брэгга; б - поверхностная волна в щели между двумя отражателями Брэгга. (Из работы [41].)

функции являются комплексные значения величины В дальнейшем мы покажем, что этим полюсам соответствует либо поверхностная волна (, оставаясь отрицательной величиной), либо волна утечки которые могут передаваться в плоском слое.

В гл. 8 мы увидим, что для цилиндрических оптических волокон (у которых ось симметрии совпадает с осью поверхностная волна соответствует световодным модам, а волны утечки — затухающим модам. Аналитическое описание здесь и в гл. 8 различно. Однако заметим, что для случая цилиндрического волновода нужно рассматривать волны, попадающие в волокно при и распространяющиеся в положительном направлении оси В пленарных же волноводах волна входит ортогонально оси и распространяется как поверхностная или затухающая волна вдоль самой оси

Используя аналогию между оптикой тонких пленок и электронной зонной теорией твердого тела, нетрудно показать существование мод, локализованных вблизи границ раздела многослойной и однородной сред. Аналогично тому, как поверхностные состояния описывают примеси вблизи границ твердого тела, особые волны могут быть возбуждены и вблизи границ раздела мультислоя. Свойства этих волн можно изучать [41], отыскивая вещественные корни уравнения (3.18.5) и получая распределение поля с помощью рассмотренной выше теории электрических цепей. На рис. 3.29, а показано поперечное распределение поля для типичной основной поверхностной моды, направляемой периодической структурой.

1
Оглавление
email@scask.ru