3.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА В СЛОИСТЫХ СРЕДАХ
Рассмотрим случай, когда показатель преломления не зависит от
что соответствует неограниченной слоистой среде. Пусть
Стандартный путь исследования задачи о распространении волн состоит в поиске подходящего приближенного метода решения волнового уравнения. Точные аналитические рашения получаются только для некоторых частных случаев профиля
Например, в методе Венцеля—Крамерса—Бриллюэна (ВКБ) [11] ищется приближенное решение, которое является асимптотическим по параметру
Малость
означает, что показатель преломления слабо изменяется на размерах порядка длины волны. В данном разделе мы используем развитый в гл. 2 формализм геометрической оптики, который в низшем порядке по
приводит к тем же результатам, что и ВКБ-метод.
Записанное в виде (2.4.10) уравнение для лучей можно решить, используя декартовы координаты. При этом получаем
Таким образом,
являются интегралами движения. Для удобства можно выбрать направление оси таким, чтобы все лучи начальной плоской волны были ортогональны
Это уже неявно предполагалось при записи выражения (3.2.1). Следовательно,
Кроме того, из (3.2.2) мы имеем
(а — постоянная), так что можно записать следующее уравнение:
При
из этого уравнения и (3.2.1) следует, что
таким образом,
Используя уравнение (3.2.4), траекторию любого луча можно записать в виде
координаты произвольной точки траектории. В нашем случае эйконал запишется в виде
где
постоянная. Действительно, это выражение является частным случаем формулы (2.12.5) и описывает волну, направление распространения которой при
образует угол в с осью
В соответствии с (3.2.7) имеем
Кроме того, поскольку
уравнения (3.2.3), (3.2.4) и
можно записать
Здесь мы положили
.
Окончательно, используя выражение (3.2.7), нетрудно получить искомое лучевое поле в виде
где
представляет собой плоскую волну (3.2.1), распространяющуюся без возмущения в однородной среде с показателем преломления
связанная с изменением показателя преломления задержка фазы волны и по сравнению с
Полученное выражение для поля
имеет сингулярность при
Соответствующее значение
при котором
является точкой поворота для волнового уравнения. Плоскостью
если она вообще существует, представляет собой каустику, связанную с конгруэнцией всех лучей, имеющих одинаковое значение
Чтобы вычислить поле вблизи
рассмотрим снова волновое уравнение. Начальные условия позволяют искать решение уравнения (1.1.12) в виде
Подстановка этого выражения в уравнение (1.1.12) дает
Для наших целей удобно искать решение уравнения (3.2.13) в виде
Здесь
две функции координаты
удовлетворяющие уравнению
которое нетрудно получить, подставив выражение (3.2.14) в уравнение