6.13.6. Теория ван де Хюлста для сферы очень большого размера

В пределе рассеяние плоской волны на сфере можно описать в рамках геометрической оптики. Связь между этим асимптотическим

приближением и рядами устанавливается при помощи принципа локализации у согласно которому парциальная волна порядка при соответствует семейству лучей, падающих на сферу на расстоянии от ее центра. Таким образом, будем считать, что моды с индексом падают на сферу под углом в то время как другие моды проходят не рассеиваясь и не отражаясь. Эти последние моды образуют плоский фронт, в котором, однако, отсутствует часть его в виде центрального диска радиусом, равным радиусу сферы. В дальней зоне этот неполный волновой фронт представляет собой поле плоской волны, из которого нужно вычесть компоненту, соответствующую дифракции Фраунгофе-ра на круглом отверстии. Лучи, захваченные сферой, могут затем покинуть ее, претерпев некоторое число внутренних отражений, внося таким образом свой вклад в общую картину рассеяния (часть энергии волна теряет из-за поглощения ее в сфере). В заключение заметим, что рассеянное поле можно представить себе состоящим из двух частей, одна из которых обусловлена отражением и преломлением на сфере, а другая — дифракцией волнового фронта на внешней границе рассеивающей сферы.

Разделение поля на две составляющие проявляется в записи коэффициентов Действительно, каждый из этих коэффициентов содержит два члена, один из которых равен —1/2 и не зависит от вида рассеивающего тела, а другой равен и существенно зависит от рассеивателя через фазу с. Первый член определяет дифракцию Фраунгофера, в то время как второй связан с отражением и преломлением света на сфере.

Интерференция между различными составляющими приводит к появлению быстрых осцилляций интенсивности при изменении направления наблюдения рассеяния.

В дальнейшем мы рассмотрим теорию дифракции на сферах больших размеров лишь в общих чертах, более подробно эта теория представлена в книге ван де Хюлста. Например, основное внимание мы обратим на вычисление сумм, содержащих фазовые сдвиги. При этом будем полагать, что оставшиеся члены, пропорциональные постоянному множителю 1/2, дают картину, характерную для дифракции на диске.

С учетом принципа локализации поставим в соответствие парциальной волне луч, падающий под углом Используя асимптотические выражения для цилиндрических функций, сначала Дебай, а затем ван де Хюлст получили следующие соотношения:

в которых коэффициенты определяются следующим образом:

здесь коэффициенты Френеля для -волны, падающей под углом а величина определяется выражениями

где угол преломления. Заменяя на можно получить аналогичное выражение для -Иоф. Используя затем асимптотические выражения для при больших и конечных 0, а именно

мы получаем (см. работу [22, Sect. 3.5.2])

здесь произвольное целое число. Поскольку сумма по в выражении для содержит большое число относительно медленно меняющихся членов, ее можно заменить интегралом. Таким образом,

Вычислим этот интеграл методом стационарной фазы. Это означает, что при больших основной вклад в интеграл дает то значение угла для которого Таким образом, мы имеем

где

В окрестности угла функцию можно разложить в ряд по

причем связаны между собой соотношением а коэффициент дается выражением

Таким образом, окончательно получаем следующее асимптотическое выражение:

где Наконец, заменяя в выражении на находим

Выполненные выше расчеты можно провести более строго, если рассеянное поле представить в виде ряда и затем применить к этому ряду метод Ватсона-Редже. Основная трудность, которую придется преодолеть при таком подходе, заключается в векторном характере процесса рассеяния. Если использовать скалярное представление поля, то в случае сферы можно шаг за шагом повторить выкладки, описанные в разд. 6.5 для кругового цилиндра (подробнее об этом см. в книге Нуссенцвейга [22], указанной в литературе к гл. 4 настоящей книги).