2.7. ЗАТУХАЮЩИЕ ВОЛНЫ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЭЙКОНАЛЫ
В предыдущих разделах мы неявно предполагали, что связанная с (действительными) лучами функция 
является вещественной. Однако для описания полей, амплитуда которых существенно меняется даже на расстояниях порядка X, мы по-прежнему можем опираться на формализм геометрической оптики. Для этого нужно ввести комплексный эйконал. Рассмотрим прежде всего простой случай плоской затухающей волны, распространяющейся в свободном пространстве (рис. 2.8):
где 
Основываясь на этом примере, Фелсен [3] предложил искать в общем случае комплексные решения уравнения эйконала (2.3.1) в виде
где 
удовлетворяют уравнению
причем 
(взаимно-ортогональные поверхности равных фаз и равных амплитуд). Волны, описываемые комплексными эйконалами, называют обычно однородными волнами. Аналогично, если ввести величину
то транспортное уравнение (2.5.1) приводит к следующей паре уравнений:
Рассмотрим теперь две конгруэнции лучей, которые перпендикулярны поверхностям 
В первом случае траектории конгруэнции, нормальной фазовым фронтам (поверхностям равной фазы), называются фазовыми траекториями. На них величина I постоянна. Во втором случае траектории семейства (траектории
Рис. 2.8. Плоская затухающая волна. Заштрихованная область соответствует экспоненциально затухающему распределению амплитуды.
затухания или контуры равной фазы), нормального поверхностям равной амплитуды 
лежат на фазовых фронтах. Аналогично тому, как было получено уравнение (2.4.5), можно вывести уравнения траекторий
где 
элементы длины соответственно на фазовой траектории и на траектории затухания (рис. 2.9). Единичные векторы 
определяют соответствующие направления. Из уравнений (2.7.6) следует, что параметры 
формально можно рассматривать как показатели преломления.
Используя дифференциальные соотношения 
транспортные уравнения (2.7.5) можно переписать в виде
Повторяя вывод соотношения (2.4.14), можно получить две кривизны 
Из представленного выше рассмотрения следует, что выбор соответствующего комплексного эйконала позволяет обобщить асимптотический ряд Лунеберга — Клейна на поля, не описываемые вещественной функцией 
Рис. 2.9. Геометрическое представление взаимно ортогональных фазовых фронтов 
и фазовых траекторий 
