3.16. АНИЗОТРОПНЫЕ СЛОИСТЫЕ СРЕДЫ

Если многослойная среда характеризуется тензорной диэлектрической проницаемостью, то вычисление поля, образуемого при падении плоской волны, становится невероятно громоздким. Причину этой трудности нетрудно понять, если вспомнить, что в каждом направлении плоская волна может распространяться только с вполне определенной ориентацией вектора электрического поля. Кроме того, если фиксировать два из четырех параметров от которых зависят нормальные моды, то два других параметра должны определяться из дисперсионного уровня

Для того чтобы пояснить сделанные замечения, рассмотрим многослойную среду, изображенную на рис. 3.8. Предположим, что решение для поля зависит от поперечных координат х, у в виде простой экспоненты Это означает, что для каждого слоя могут существовать две различные нормальные волны, для которых волновой вектор принимает одно из двух значений, определяемых дисперсионным уравнением.

3.16.1. Метод характеристической матрицы 4x4

В разд. 3.7 мы показали, что уравнения для ТЕ- и ТМ-волн в изотропной среде разделяются. Для анизотропных сред это не выполняется, и

причины такого различия мы уже обсудили. Для однородного слоя, уравнение нужно заменить следующим векторным уравнением

где четырехкомпонентный вектор-столбец, рая в среде со скалярной проницаемостью имеет

здесь

Компоненты матрицы для сред более общего вида приведены в боте [20]. Обозначим через четыре собственных значения матри Их можно получить, решая алгебраическое уравнение 4-го порядка С физической точки зрения величины соответствуют -составляющим четырех нормальных волн, которы могут распространяться в кристалле при равных нулю величинах Для одноосного кристалла это соответствует двум обыкновенные волнам и двум необыкновенным, и мы имеем следующие выражения

где показатель преломления обыкновенной волны, а показатели преломления необыкновенных волн, для которых величина соответственно положительна и отрицательна. Кроме того, нетрудно показать, что являются корнями квадратного уравнения

где направляющие косинусы оптической оси. В большинстве практических важных случаев мало отличается от

Определив четыре собственных значения можно вычислить правые и левые собственные векторы и матрицы А:

где это четырехкомпонентный вектор-столбец. Следуя затем стандартной процедуре (см. разд. 3.9), можно представить в виде следующего разложения:

где проекционные операторы (т. е. при ). Для однородного слоя, используя представление А в виде (3.16.7), уравнение (3.16.1) можно проинтегрировать. При этом получаем

здесь представляет собой -аналог характеристической матрицы слоя. Ее используют таким же образом, как и рассмотренную выше матрицу