7.10. МОДОВОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛЯ ВНУТРИ УСТОЙЧИВОГО РЕЗОНАТОРА, НЕ ИМЕЮЩЕГО ДИФРАКЦИОННЫХ ПОТЕРЬ

Рассмотрим линейный резонатор, ограниченный двумя бесконечно протяженными сферическими зеркалами с коэффициентами отражения по амплитуде Для того чтобы найти поле и, возбуждаемое источником гармонических колебаний, расположенным внутри резонатора, удобно представить и как сумму собственных функций что используются три индекса, мы объясним ниже) лапласиана (см. работу ван Бладеля [8], указанную в литературе к гл. 4 настоящей книги):

удовлетворяющих следующему условию ортогональности (см. задачу 7):

и граничному условию на поверхности зеркал (ср. с разд. 3.23):

где импеданс на поверхности зависит от коэффициента отражения, т. е.

Поле наведенное полем поляризации присутствующим внутри резонатора, удовлетворяет неоднородному уравнению Гельмгольца и граничному условию (7.10.3) на зеркалах. Если являются линейно-поляризованными и ортогональными оптической оси и то уравнение (1.1.11) сводится к неоднородному скалярному уравнению Гельмгольца:

Разложим вектор электрического поля в ряд по модам резонатора:

где три индекса мы суммировали в один. При этом уравнение (7.10.4) принимает вид

Отсюда находим следующее выражение для коэффициентов :

При выводе этого выражения мы использовали условие (7.10.2), причем было сделано дополнительное предположение о том, что различные ортогональные собственные функции могут иметь одно и то же собственное значение. Таким образом, разложение (7.10.5) можно переписать в виде

В частности, когда описывается дельта-функцией представляет собой отклик резонатора на электромагнитное излучение точечного источника и, таким образом, совпадает с функцией Грина резонатора которая в соответствии с (7.10.8) запишется в виде

Читатель должен обратить особое внимание на то, что поле в резонаторе в общем случае состоит из набора мод даже тогда, когда в резонаторе возбуждается всего одна частота. В частности, когда говорят, что лазер работает в одномодовом режиме, подразумевается то, что поле в резонаторе имеет одну частоту, при этом оно необязательно представлено одной собственной функцией

Оставим пока проблему определения собственных функций Предположим, что зеркала достаточно велики и отражают гауссовы пучки любого порядка. Тогда мы можем записать следующее выражение:

где и ипредставляют либо эрмит-гауссовы, либо лагерр-гауссовы пучки, распространяющиеся соответственно справа налево и слева направо, волновые фронты которых на выходе резонатора совпадают с поверхностями зеркал.

Коэффициенты определяются из граничных условий (7.10.3), которые можно записать в следующем эквивалентном виде:

Поскольку эта система уравнений может быть решена, только если граничные условия можно преобразовать в следующее уравнение для волнового вектора эрмит-гауссовой моды:

которое удобно разделить на два уравнения

где в выражениях для индексы для простоты опущены.

Здесь удобно заметить, что моды, возбуждаемые источником с частотой , имеют собственные значения близкие к В этом можно убедиться, исследуя выражение для функции Грина (7.10.9). Кроме того, поскольку коэффициенты отражения зеркал резонатора обычно очень близки к единице, с учетом выражения (7.10.13а) мы имеем и аналогично так то Таким образом, уравнения (7.10.13а) и (7.10.136) принимают вид

В соответствии с мнимая величина не зависит от порядка рассматриваемой моды, в то время как вещественная часть величины зависит от продольного индекса и поперечных индексов Для лагерр-гауссовой моды уравнение (7.10.146) необходимо заменить на следующее:

Наконец, для симметричного резонатора в случае совместное решение уравнений (7.10.10) и (7.10.11) дает