8.5. МОДОВАЯ ТЕОРИЯ ДЛЯ ВОЛОКОН СО СТУПЕНЧАТЫМ ПРОФИЛЕМ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ

Основная трудность в решении краевой задачи при изучении волноводных мод в оптическом волокне связана с интегрированием уравнения в частных производных методом разделения переменных. Хотя для волокон со ступенчатым профилем показателя преломления эта задача оказывается не столь уж сложной, удобно все-таки ввести некоторые приближения, для того чтобы получить простые выражения для интересующих нас величин. Таким образом, предположим, например, что оболочка простирается на бесконечно большое расстояние; такое предположение правомерно благодаря экранирующей роли оболочки и экспоненциальному затуханию волноводных мод с расстоянием от оси волокна. Кроме того, особое внимание уделим случаю, когда показатели преломления сердцевины и оболочки отличаются всего на несколько процентов случай слабонаправляющих волокон), что часто имеет место на практике, так как малость А ограничивает искажения, вносимые волокном в распространяющийся импульсный сигнал, при сохранении волноводных свойств волокна.

Уравнения (8.4.9) и (8.4.10) для продольных компонент электрического и магнитного полей становятся строгими, поскольку теперь как в сердцевине, так и в оболочке, и их можно переписать в виде

где

Здесь диэлектрические проницаемости (показатели преломления) соответственно сердцевины и оболочки. Обычно помимо величин вводят еще один параметр V (так называемую

нормированную частоту), определяемый выражением

Для волноводной моды постоянная распространения является вещественной и удовлетворяет соотношению

(положительные значения соответствуют модам, распространяющимся в положительном направлении оси Справедливость этого соотношения обусловлена тем, что величины соответствуют однородной плоской волне, распространяющейся в однородной среде с показателями преломления , и и что волноводный случай является промежуточным. Как следствие, х и у являются вещественными и предполагаются положительными.

В соответствии с симметрией задачи введем полярные координаты Оператор при этом принимает вид

и переменные разделяются:

Уравнения (8.5.1) и (8.5.2) в этом случае принимают вид соответственно уравнения Бесселя и модифицированного уравнения Бесселя:

решения которых записываются в виде

где — функции Бесселя соответственно первого и второго рода, а и модифицированные функции Ханкеля первого и второго рода (см. книгу [4, ch. II] и уравнения В. 10 в приложении В).

Функции расходятся соответственно при (поскольку так что их нельзя использовать для описания компонент (которые предполагаются конечными). Следовательно, необходимо положить Наоборот, ограничена при при дается асимптотическим выражением

Рис. 8.10. Цилиндрическая система координат.

Условие непрерывности тангенциальных составляющих полей на границе раздела сердцевина — оболочка позволяет записать следующие выражения:

здесь произвольные постоянные, а целое представляет собой азимутальное число.

Теперь с помощью выражений (8.4.6) можно найти поперечные компоненты полей в цилиндрической системе координат (рис. 8.10) затем наложить условия непрерывности

Действительно, можно показать, что если то соотношение

связывает поперечные компоненты электрического и магнитного полей (аналогичное соотношение справедливо для однородной плоской волны, распространяющейся в сердцевине вдоль оси Поэтому вместо условия (8.5.17) можно наложить эквивалентное условие

Не вдаваясь в подробности вычислений, запишем следующее уравнение, полученное на основании выражений (8.5.16) и (8.5.19):

Уравнение (8.5.20) называется характеристическим уравнением. Его решение для направляемых мод с учетом выражений (8.5.3) и (8.5.4) дает два бесконечных множества дискретных допустимых значений постоянной распространения а именно (здесь - положительное целое число, отличающее разные решения для каждого фиксированного Если ведет себя как известная функция частоты то можно ввести понятие частоты отсечки или критической частоты устанавливающей нижний предел, ниже которого направляемая мода не может существовать. Действительно, в соответствии с зависимостью, описываемой выражением (8.5.13), мода теперь не остается локализованной в сердцевине при . Иными словами [см. выражение (8.5.4)], при таком значении частоты для которого

мода занимает все пространство.

При величина становится комплексной и соответствующая мода затухает во время распространения. Можно показать, что в отличие от металлических волноводов в диэлектрических волноводах существует такая основная мода (обозначаемая символом для которой не существует критической частоты [1] (рис. 8.11).

Рис. 8.11. Нормированная постоянная распространения в зависимости от нормированной частоты V для различных мод низшего порядка в волокне со ступенчатым профилем показателя преломления.