7.8. ЭРМИТ-ГАУССОВЫ И ЛАГЕРР-ГАУССОВЫ ПУЧКИ

При выводе выражений для полей, описывающих оптические пучки, можно использовать аналогию между гауссовыми пучками и сферическими волнами. Действительно, сферические волны принадлежат обширному семейству мультипольных полей, в котором они представляют мультиполь нулевого порядка. Можно предположить, что то же самое справедливо и для гауссовых пучков, определяемых формулами (7.6.7а)-(7.6.7в).

Поскольку мультипольные поля, определяемые выражением (7.6.7в), не являются взаимно ортогональными в поперечной плоскости, найдем другое (более удобное) семейство мультиполей, называемых модами, которые затем используем в качестве базиса при разложении поля. Для этого запишем поле в виде и где в общем случае комплексная постоянная распространения. Нетрудно показать, что в рамках параксиального приближения для и амплитуда А удовлетворяет параболическому волновому уравнению, рассмотренному в разд. 2.6 гл. 2 настоящей книги. Будем искать решение этого уравнения в виде

гдер соответственно размер перетяжки и комплексная кривизна волнового фронта гауссова пучка, определяемые формулами (7.7.2), в которых длина волны и фазовый множитель (не путать с волновым вектором) должны быть определены вместе с неизвестной функцией Подстановка выражения (7.8.1) в (2.6.12) дает следующее уравнение:

где Предположим, что квадратично-интегрируемая функция в плоскости Тогда уравнение (7.8.2)

однозначно определяет как собственную функцию дифференциального оператора, стоящего в левой части уравнения, с собственным значением Вспоминая, что дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют полиномы Эрмита, записывается в виде

можно сразу показать, что в прямоугольной декартовой системе координат нормализованные собственные функции уравнения (7.8.2) запишутся в виде

причем соответствующие им собственные значения даются выражением

Сравнивая последнее выражение с выражением для из (7.8.2), получаем следующее дифференциальное уравнение:

решение которого для записывается в комплексном виде следующим образом:

здесь определяется выражением (7.7.26).

Следует заметить, что, согласно (7.8.1), кривизна фазового фронта не зависит от порядка моды в то время как фазовая скорость уменьшается с ростом порядка моды и увеличивается с расстоянием от перетяжки пучка:

Из табл. 7.2 можно определить некоторые моды низших порядков используя выражение

Для данного к функции и являющиеся собственными функциями лапласиана и имеющие собственные значения образуют полный и ортонормированный набор мод, который заменяет мультипольные поля, определяемые выражением (7.6.7в). Верхний индекс

Таблица 7.2. (см. скан) Полиномы Эрмита (в колонке слева) и обобщенные полиномы Лагерра (в колонке справа) низших порядков

употребляется для того, чтобы отличить пучки, записанные в прямоугольных координатах, для которых естественным выбором являются полиномы Эрмита, от пучков в полярных координатах, где удобнее использовать полиномы Лагерра. Действительно, уравнение (7.8.2) допускает также следующий набор решений, представляемых в виде комбинации полиномов Лагерра и тригонометрических функций:

где - полиномы Лагерра с радиальным индексом и угловым индексом Это нетрудно доказать, используя те же рассуждения, с помощью которых было получено выше выражение (7.8.4). Замена полиномов эрмита полиномами Лагерра приводит к следующему выражению для фазового множителя

так что можно теперь записать в виде

Таблица 7.3. (см. скан) Гауссовы пучки в прямоугольной и цилиндрической системах координат

В табл. 7.3 приведены некоторые моды низших порядков.

Легко проверить, что любую моду можно представить в виде линейной комбинации мод [например, ]. На рис. 7.19 показаны распределения интенсивностей для нескольких мод ТЕМ.

Рис. 7.19. Распределение интенсивности Некоторых мод в цилиндрических координатах.

На рис. 7.19 приведено также распределение интенсивности -моды, которая представляет собой гибридную моду с угловым распределением, возникающим в результате некогерентной суперпозиции двух -мод, каждая из которых пропорциональна либо либо

Рис. 7.20. (см. скан) Распределение интенсивности основной моды (а) и гибридной моды

Рис. 7.21. Пространственная структура и конфигурация поля для некоторых мод гауссовых пучков. Длина стрелки и ее направление соответствуют амплитуде и поляризации лагерр-гауссовой моды.

здесь флуктуируют независимо друг от друга (например, вследствие нестабильной работы лазера). В случае когда средняя интенсивность моды записывается в виде (рис. 7.19 и 7.20)

Моды Лагерра — Гаусса в случае являются аксиально-симметричными и соответствуют набору темных колец, число которых равнор. При поле имеет 21 радиальных темных полос. С ростом радиальных и угловых индексов растет и секционирование мод. В случае эрмит-гауссовых мод темные кольца заменяются полосами, параллельными осям симметрии. Число полос совпадает с номером соответствующего индекса. На рис. 7.21 показана пространственная структура мод и конфигурации мод для линейно-поляризованных мод Лагерра — Гаусса (обратите внимание на тороидальную форму моды