Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
7.8. ЭРМИТ-ГАУССОВЫ И ЛАГЕРР-ГАУССОВЫ ПУЧКИ
При выводе выражений для полей, описывающих оптические пучки, можно использовать аналогию между гауссовыми пучками и сферическими волнами. Действительно, сферические волны принадлежат обширному семейству мультипольных полей, в котором они представляют мультиполь нулевого порядка. Можно предположить, что то же самое справедливо и для гауссовых пучков, определяемых формулами (7.6.7а)-(7.6.7в).
Поскольку мультипольные поля, определяемые выражением (7.6.7в), не являются взаимно ортогональными в поперечной плоскости, найдем другое (более удобное) семейство мультиполей, называемых модами, которые затем используем в качестве базиса при разложении поля. Для этого запишем поле в виде и
где
в общем случае комплексная постоянная распространения. Нетрудно показать, что в рамках параксиального приближения для и амплитуда А удовлетворяет параболическому волновому уравнению, рассмотренному в разд. 2.6 гл. 2 настоящей книги. Будем искать решение этого уравнения в виде
гдер
соответственно размер перетяжки и комплексная кривизна волнового фронта гауссова пучка, определяемые формулами (7.7.2), в которых длина волны
и фазовый множитель
(не путать
с волновым вектором) должны быть определены вместе с неизвестной функцией
Подстановка выражения (7.8.1) в (2.6.12) дает следующее уравнение:
где
Предположим, что
квадратично-интегрируемая функция в плоскости
Тогда уравнение (7.8.2)
однозначно определяет
как собственную функцию дифференциального оператора, стоящего в левой части уравнения, с собственным значением
Вспоминая, что дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют полиномы Эрмита, записывается в виде
можно сразу показать, что в прямоугольной декартовой системе координат нормализованные собственные функции уравнения (7.8.2) запишутся в виде
причем соответствующие им собственные значения даются выражением
Сравнивая последнее выражение с выражением для
из (7.8.2), получаем следующее дифференциальное уравнение:
решение которого для
записывается в комплексном виде следующим образом:
здесь
определяется выражением (7.7.26).
Следует заметить, что, согласно (7.8.1), кривизна фазового фронта не зависит от порядка моды
в то время как фазовая скорость
уменьшается с ростом порядка моды и увеличивается с расстоянием от перетяжки пучка:
Из табл. 7.2 можно определить некоторые моды низших порядков
используя выражение
Для данного к функции и
являющиеся собственными функциями лапласиана
и имеющие собственные значения
образуют полный и ортонормированный набор мод, который заменяет мультипольные поля, определяемые выражением (7.6.7в). Верхний индекс
Таблица 7.2. (см. скан) Полиномы Эрмита (в колонке слева) и обобщенные полиномы Лагерра (в колонке справа) низших порядков
употребляется для того, чтобы отличить пучки, записанные в прямоугольных координатах, для которых естественным выбором являются полиномы Эрмита, от пучков в полярных координатах, где удобнее использовать полиномы Лагерра. Действительно, уравнение (7.8.2) допускает также следующий набор решений, представляемых в виде комбинации полиномов Лагерра и тригонометрических функций:
где
- полиномы Лагерра с радиальным индексом
и угловым индексом
Это нетрудно доказать, используя те же рассуждения, с помощью которых было получено выше выражение (7.8.4). Замена полиномов эрмита полиномами Лагерра приводит к следующему выражению для фазового множителя
так что
можно теперь записать в виде
Таблица 7.3. (см. скан) Гауссовы пучки в прямоугольной
и цилиндрической
системах координат
В табл. 7.3 приведены некоторые моды
низших порядков.
Легко проверить, что любую моду
можно представить в виде линейной комбинации мод
[например,
]. На рис. 7.19 показаны распределения интенсивностей для нескольких мод ТЕМ.
Рис. 7.19. Распределение интенсивности Некоторых мод в цилиндрических координатах.