8.10. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ВНУТРИ ВОЛОКНА

В предыдущих разделах основные особенности процесса распространения волн в оптических волокнах были изучены на примере мод, распространяющихся при фиксированной частоте в идеальных диэлектрических волноводах. Рассмотрим теперь реальную ситуацию, когда поле, представляющее собой суперпозицию различных мод и имеющее ограниченную полосу частот, распространяется в реальном волокне, профиль показателя преломления которого неизбежно отклоняется от идеального, что приводит к ослаблению волн и связи между различными модами. Одновременное возбуждение многих мод и зависимость постоянной распространения от частоты приводит к искажению сигнала и ухудшению характеристик оптического волокна.

Обозначим пространственную конфигурацию произвольной моды,

определяемой индексом (который, как было показано, на самом деле означает набор индексов), через а постоянную распространения этой моды (вещественную для направляемых мод и комплексную для мод утечки) через При этом аналитический сигнал (см. гл. 1, разд. 1.8), соответствующий монохроматическому электрическому полю, распространяющемуся в идеальном волокне, можно записать в виде следующего разложения:

где коэффициенты разложения. Если поле имеет конечную ширину полосы то выражение (8.10.1) заменяется на

Как уже отмечалось, поле в волокне не является строго поперечным, причем отношение его продольной компоненты к поперечной составляет величину порядка Однако в качестве значимой величины обычно рассматривают мощность переносимую через элемент поперечного сечения о волокна (рис. 8.14) и определяемую следующим образом:

Здесь единичный вектор в положительном направлении оси а комплексный вектор Пойнтинга, определяемый выражением (см. разд. 1.8)

где скобки обозначают усреднение во времени за несколько периодов изменения поля. Следовательно, для вычисления вектора Пойнтинга необходимо иметь лишь поперечною составляющую электромагнитного поля. Произведя замену можно записать выражения, аналогичные (8.10.1) и (8.10.2), для поперечной составляющей магнитного поля. Коэффициенты разложения направляемых мод можно в принципе определить по известным граничным

Рис. 8.14. Поперечное сечение волокна.

условиям используя следующее соотношение ортогональности:

где положительный нормировочный коэффициент, а символ Кронекера. Соотношение ортогональности, аналогичное (8.10.5), приближенно справедливо и для просачивающихся туннелирующих мод, соответствующих туннелирующим лучам (см. разд. 8.2), которые могут вносить заметный вклад в суммарное поле на значительных расстояниях вдоль оси.

Если предположить, что ширина полосы удовлетворяет неравенству (как это имеет место в большинстве случаев)

где характерная частота поля, то в (8.10.2) можно положить . В результате мы получим более простое выражение

Заметим, что выражения (8.10.2) и (8.10.7) можно без труда обобщить на случай реального волокна, у которого профиль показателя преломления лишь незначительно отличается от идеального. Для этого необходимо ввести зависимость коэффициентов от Такая зависимость учитывает связь между различными модами, образующимися вследствие искажения профиля показателя преломления. Следовательно, в общем случае мы имеем

Используя выражения (8.10.5) и (8.10.7), можно сразу вычислить коэффициенты при известных граничных условиях:

[в идеальном случае Выделяя в виде отдельного множителя быстро меняющиеся (как в пространстве, так и во времени) члены, выражение (8.10.8) можно переписать в виде

где медленноменяющаяся амплитуда, которая дается выражением

Подставляя формулы (8.10.4) и (8.10.10), а также аналогичные выражения для магнитного поля в (8.10.3), имеем

здесь

Если элемент площади а совпадает со всем сечением волокна, то

причем недиагональные члены, представляющие интерференцию различных мод, обращаются в нуль благодаря соотношению ортогональности [см. (8.10.5)]. Ненулевые диагональные члены можно интерпретировать как суммарную мощность, переносимую -й модой через полное сечение волокна при данном