4.15.3. Распространение взаимной интенсивности; теорема Ван-Циттерта - Цернике

Рассмотрим случай, когда амплитуда и фаза поля неизвестны точно, т. е. можно рассматривать как стохастические процессы, задаваемые своими моментами (см. разд. 1.8). При этом важная информация связана со взаимной интенсивностью вычисляемой в плоскости Эту величину можно найти с помощью выражения (4.15.10) через аналогичную величину в плоскости с (1.8.12)]. Таким образом» мы можем написать

Если зафиксировать теперь плоскость х, у, то левая сторона этого равенства становится функцией координат выраженной через интеграл, аналогичный интегралу (4.15.10). Поскольку функция, определяемая выражением (4.15.10), представляет собой поле, удовлетворяющее уравнению Гельмгольца, мы приходим к следующему уравнению

Благодаря симметрии взаимной интенсивности по отношению к координатам аналогичное уравнение справедливо и для зависимости от

Важным частным случаем является случай, когда взаимная интенсивность отлична от нуля лишь в столь малой окрестности точки в которой изменяется очень слабо. При этом выражение (4.15.12) можно приближенно записать следующим образом:

где

Величину с некоторой осторожностью можно интерпретировать как интенсивность. Чтобы показать это, заметим, что корреляционная длина взаимной интенсивности зависит от расстояний между действительными или мнимыми источниками и плоскостью предмета. Для источников, близких к корреляционная длина существенно уменьшается. Это имеет важные следствия: амплитуда о(х, должна стать очень большой, и поле даже локально нельзя рассматривать как плоскую волну, так что квадрат модуля амплитуды не является модулем вектора Пойнтинга. В тех случаях, когда всеми этими фактами можно пренебречь, величину можно рассматривать как интенсивность.

В качестве примера рассмотрим оптическую систему, представляющую собой круглое отверстие в плоскости предмета. При этом К

определяется выражением (4.5.6), так что с точностью до несущественного фазового множителя имеем

Из этого выражения следует, что корреляционная функция поля на расстоянии от некогерентно освещаемого отверстия совпадает с фурье-образом освещенности этого отверстия. Этот результат, первоначально полученный Ван-Циттером и Цернике, лежит в основе знаменитой теоремы, носящей их имя (см., например, книгу Борна и Вольфа [11], приведенную в литературе к гл. 1 настоящей книги).