4.1.2. Математический аппарат

Волновая оптика рассматривает, чем отличается истинное поведение электромагнитных полей от того, что предсказывает геометрическая оптика. Результаты геометрической оптики основываются на приближении, в котором волны распространяются вдоль определенных траекторий (лучей). В действительности же электромагнитные поля подчиняются волновым уравнениям Гельмгольца, дополненным соответствующими граничными условиями. Решения краевых задач в теории электромагнитного поля ограничены и непрерывны, в то время как в геометрической оптике поля сингулярны на каустиках и разрывны при пересечении границ тени, образуемых препятствиями, разрушающими пучки лучей.

К сожалению, сингулярности геометрической оптики не устраняются и при рассмотрении высших порядков в рядах Лунеберга-Клейна (ЛК) [выражение (2.2.5)]. Действительно, два последовательных члена этого ряда связаны рекурсивными соотношениями (2.6.2); поэтому, если первый член расходится, то последующие члены вычислить уже невозможно. Таким образом, приходится выискивать различные представления для полей, по крайней мере вблизи этих критических областей. Целью волновой оптики является устранение нефизических особенностей полей, вычисленных методами геометрической оптики, и улучшение методов вычисления полей при распространении их на очень большие расстояния.

Анализируя доступные аналитические решения уравнении Максвелла, которые в пределе приводят к каустикам или границам тени, можно заметить, что вблизи критических областей амплитуда поля испытывает систематические колебания в пространстве. Иными словами, каустики и границы тени окружены чем-то вроде приграничного слоя аналогично тому, что происходит при обтекании поверхности жидкостью (рис. 4.1). Толщина и скорость изменения поля внутри

Рис. 4.1. Отверстие в плоском экране, освещаемое сферической волной с аберрациями. Заштрихованные области представляют собой граничный слой, окружающий границу тени и каустику.

этого слоя зависит от волнового числа k. При к толщина слоя стремится к нулю, а решение волнового уравнения стремится к своему предельному виду [1].

Вообще говоря, отличие истинных полей от полей, полученных в приближении геометрической оптики, тем больше, чем дальше мы отодвигаемся от источников и от препятствий, мешающих свободному распространению света. Рассмотрим в качестве примера отверстие в металлическом экране, на которое падает плоская волна. В приближении геометрической оптики распределения поля на любой плоскости, параллельной экрану, имеют одни и те же размеры и форму. Истинное же распределение интенсивностей, называемое дифракционной картиной, при удалении от экрана с каждым шагом все заметнее изменяется по форме и размерам. В конечном счете достигается область далекого поля, в которой с увеличением расстояния изменяются лишь размеры картины, форма же сохраняется постоянная.

Другая ситуация возникает при неоднородном распределении показателя преломления. В этом случае необходимо ввести в рассмотрение несколько волн, распространяющихся в различных направлениях, причем связь между этими полями определяется неоднородностями среды. Физически это можно интерпретировать как процесс рассеяния: падающая волна порождает рассеянную волну, распространяющуюся в разных направлениях.

Задачи, которые решает волновая теория, можно условно разделить на три класса:

1) изучение распространения волн через неоднородную среду (см. гл. 3);

2) вопросы дифракции (см. данную главу) и

3) изучение рассеяния на препятствиях (см. гл. 6).

В частности, теория дифракции занимается главным образом изучением полей вблизи каустик, фокусов и границ тени, связанных с волновыми фронтами, ограниченными отверстиями (или препятствиями). В строгом смысле слова всякое препятствие можно рассматривать как область, в которой показатель преломления отличается от его величины в окружающей среде; поэтому дифракцию на отверстиях или рассеяние на препятствиях можно рассматривать как распространение через неоднородную среду. Таким образом, приведенная классификация определяется главным образом соображениями удобства.

Волновая теория использует большое число различных аналитических методов [2, 3]:

1) спектральное представление полей (разложение по плоским, цилиндрическим и сферическим волнам; пучки Эрмита — Гаусса; вытянутые сфероидальные гармоники) (см., например, гл. 4, 5 и 7);

2) дифракционные интегралы (см. данную главу);

3) интегральные уравнения (см., например, гл. 7);

4) интегральные преобразования (преобразования Лебедева — Канторовича, преобразование Ватсона) [4] (см., например, гл. 5);

5) разделение переменных (см., например, гл. 8);

6) функциональный метод Винера — Хопфа — Фока [5];

7) асимптотические ВКБ-решения волнового уравнения для неоднородных сред (см., например, гл. 3);

8) вариационные методы [6, 7];

9) решения уравнений Максвелла с помощью теории возмущений [8] для слабо неоднородных сред (разреженная среда) (см., например, гл. 6).

Во многих случаях решения можно выразить в виде комплексных интегралов и рядов, которые можно вычислить либо асимптотически, либо численными методами, используя

1) методы перевала и стационарной фазы (см., например, гл. 5);

2) теорию приграничного слоя;

3) алгоритм двумерного быстрого преобразования Фурье (БПФ) [9].

Метод перевала, который в общем случае более точен, чем метод стационарной фазы, состоит в деформации контура интегрирования в комплексной плоскости и последующего вычисления интеграла с помощью асимптотического ряда. Можно показать, что этот ряд в

целом совпадает с модифицированным ЛК-представлением поля, в котором главный член пропорционален дробной степени величины к

Аномалии на каустиках или на границе тени можно в принципе исключить, используя "растянутую" соответствующим образом систему, координат, которая в хорошем приближении позволяет описать быстрые изменения поля. Такой подход обычно называют приграничной теорией дифракции [1].

Напомним здесь, что полное знание электромагнитного поля означает определение всех скалярных компонент полей В общем случае три компоненты поля (например, колеблются с общей частотой со и различными фазами. Как следствие, конец вектора при данном описывает за период плоскую фигуру, имеющую форму эллипса. Когда эллипс вырождается в отрезок, поле оказывается линейно поляризованным. Во многих случаях при изменении поляризация также изменяется. Например, если сфокусировать линзой линейно поляризованный пучок света, то с приближением к фокусу степень его линейной поляризации становится все меньше. Эти процессы можно удовлетворительно описать лишь с помощью векторной волновой теории (см. разд. 4.13).

Важной особенностью интегрального представления поля является тот факт, что во многих случаях резонансы системы можно изучать, отыскивая полюсы подынтегрального выражения. В частности, полюсы, соответствующие вещественным значениям частоты, приводят к колебательным или распространяющимся модам системы, а комплексные частоты соответствуют модам утечки (см. разд. 3.19). Кроме того, наличие разрезов в плоскости определения подынтегрального выражения связано с существованием некоторых специальных волн (например, поверхностных и боковых волн). В общем случае существенную информацию можно получить, исследуя области аналитичности подынтегрального выражения.