6.13.7. Теория глории и радуги в приближении геометрической оптики
Если радиус сферы гораздо больше длины волны, то поле рассеяния такой сферы можно найти, используя приближение геометрической оптики (см. гл. 2) или подход, развитый в разд. 6.13.6. В частности, используя соотношения (6.13.33) и (6.13.34), легко показать, что угол рассеяния 0, измеренный относительно направления 
падающей волны, связан с углом падения 
простым соотношением (рис. 6.7, б):
где 
число внутренних отражений, а 
угол преломления.
Если на сферу радиусом а падает плоская волна, то поле отраженного луча 
[см. выражение (2.12.42)] пропорционально величине 
где 
радиусы кривизны волнового фронта, отраженного от поверхности сферы. Учитывая затем соотношение (2.11.26), мы находим, что 
Таким образом, сфера, у которой радиус больше длины волны, рассеивает свет изотропно.
В более общем случае, т. е. когда лучи проникают в диэлектрическую сферу и испытывают 
внутренних отражений, интенсивность рассеяния 
в дальней зоне, как следует из выражения (6.13.37), записывается в следующем виде:
где 
так называемый коэффициент расходимости 
с выражением (2.13.52)].
В соответствии с выражением (6.13.39) интенсивность рассеяния становится бесконечной при 
или при 
В случае 
при 
интенсивность оказывается бесконечно большой для прямого рассеяния назад (явление глории) или для прямого рассеяния вперед, в то время как в случае 
мы имеем явление радуги.
Глория возникает, когда угол рассеяния отличается от угла падения 
на число, кратное 
Распределение интенсивности поля в дальней зоне при рассеянии сферической частицей назад, соответствующее лучам глории, совпадает с распределением, которое дает кольцевой волновой фронт. Таким образом, в дальней зоне образуется центральное пятно с максимальной яркостью, окруженное кольцами с постепенно убывающей интенсивностью.
Явление глории хорошо известно в метеорологии. Глория имеет вид окрашенных концентрических колец, красных в наружной части и фиолетовых во внутренней, с яркой областью в центре. Вся картина при этом наблюдается в направлении, противоположном направлению на Солнце. Глорию не нужно путать с дифракционной короной, которая окружает закрытое пеленой или облаками Солнце. Глорию можно наблюдать, если встать на холм и посмотреть на свою собственную тень. Можно увидеть глорию во время полета на самолете, наблюдая за его тенью на окружающих легких облаках или дымке. При благоприятных условиях наблюдатель увидит, что тень от головы или самолета окружена ярким гало.
Из истории физики известно, что в 1895 г. 
Вильсон построил первую свою камеру с целью экспериментального изучения глории.
Угол падения луча глории (рис. 6.21) нетрудно вычислить по формуле (6.13.38) с учетом, что 
Учитывая при этом, что любой из углов 
меньше чем 
для луча глории, испытывающего 
отражений, находим
Используя закон Снеллиуса для однократно отраженного луча 
это соотношение можно записать в виде 
Поскольку угол 
принимает значение между 
и 
показатель преломления 
должен быть заключен в интервале между 
Аналогичные ограничения можно получить и для 
Здесь необходимо указать, что,
Рис. 6.21. Лучи глории в случае одного (а) и двух отражений (б).
согласно геометрической оптике, глория на водяных каплях 
вообще не может наблюдаться! Учитывая невозможность объяснения данного эффекта в рамках геометрического приближения — случай сам по себе довольно значительный с точки зрения физики, — ван де Хюлст пришел к предположению, что поворот лучей глории происходит как вследствие нескольких отражений внутри капли, так и частично из-за пробега по поверхности капли в виде поверхностной волны.
Красивое явление радуги с древнейших времен привлекало внимание натуралистов [35]. Она часто возникает после грозы, когда лучи солнца освещают облака. Аристотель предполагал, что радуга — это необычный тип отражения солнечных лучей от облаков, возникающий при определенных углах падения и приводящий к возникновению радужных лучей, образующих круговой конус. Английский философ и естествоиспытатель Роджер Бэкон [36] впервые в 1266 г. измерил угол (138°) между лучами радуги и падающим светом. В 1304 г. немецкий монах Теодорик из Фрейберга предположил, что радуга возникает в каждой капельке облака. Ту же идею высказал впоследствии Антонио Доминиканский (архиепископ из Спалато) в своей книге "De Radiis Visus et Lucis" (1611). Исаак Ньютон приводит следующий отрывок из этой книги: «... ибо он учит там, что внутренняя дуга образуется в круглых каплях дождя посредством двух преломлений солнечного света и одного отражения между ними в каждой капле воды; он доказывает свои объяснения при помощи опытов, произведенных с фиалом, наполненным водой, и со стеклянными шарами, наполненными водой и помещенными на солнце так, чтобы были видны цвета обеих дуг. То же объяснение приводил Декарт в своих Метеорах, исправив объяснение внешней дуги...».
Ньютон дополнил геометрическую теорию радуги объяснением ее наиболее загадочного свойства — окрашиваться в разные цвета. Основываясь на результатах своих исследований по разложению белого света в призмах, он объяснил, что наблюдаемая картина является набором монохроматических радуг, каждая из которых немного смещена относительно предыдущей. На основе тщательных измерений Ньютон вычислил радужный угол для красного 137°58' и для фиолетового 139°43' цветов.
В 1835 г. Р. Поттер указал, что пересечение различных групп световых лучей в капле приводит к образованию каустики. На основе этих данных Эйри в 1838 г. удалось найти распределение интенсивности в монохроматической радуге, причем в своих расчетах он использовал знаменитый интеграл радуги, известный теперь как функция Эйри. Метод, которым воспользовался Эйри (рис. 6.22), состоял в применении принципа Гюйгенса к волновому фронту, огибающая которого описывается кубической функцией.
В соответствии с формулой (6.13.39) радуга возникает при условии, что 
Таким образом, с учетом выражения (6.13.38) углы падения 
определяются выражением
Поскольку аргумент функции 
должен быть меньше единицы, радужный луч должен претерпеть более чем 
внутренних отражений 
показатель преломления капли). Например, для капель воды 
первый радужный луч возникает при 
и рассеивается под углом
Рис. 6.22. Слияние лучей, рассеянных на капле, приводящее к конгруэнции обратно рассеянных лучей с 
-образ-ным волновым фронтом.
Второй радужный луч образуется в результате двух отражений, его угол 
Амплитуда поля вблизи радужного угла 
может быть найдена путем вычисления интеграла в выражении (6.13.32). При этом необходимо заметить, что в окрестности 
квадратичное разложение (6.13.35), отвечающее форме волнового фронта, заменится на кубическое (см. рис. 6.22):
При этом гауссов интеграл, приводящий к выражению (6.13.37), заменится функцией Эйри. Картина поля, характерная для монохроматической радуги, определяется распределением поля вблизи каустики и выглядит как ряд полос на освещенной стороне капли. Вычисления, проделанные на основе рядов 
развеяли оставшиеся сомнения о фактическом присутствии резких полос. Недавно в работе [37] к интегралу, аналогичному интегралу из выражения (6.13.32) и полученному при вычислении амплитуды рассеяния методом Ватсона — Редже, авторы применили метод Честера — Фридмана — Урселла (ЧФУ). Метод ЧФУ дает выражение, в котором функция Эйри входит в комбинации со своей производной 
таким образом, нули функции Эйри компенсируются присутствием функции 
Как видно из рис. 6.23, эти изменения приводят к значительно более высокой точности расчетов.
Рис. 6.23. Угловое распределение интенсивности рассеянного света, вычисленное для лучей из рис. 6.22; масштабный параметр 
— распределение интенсивности, полученное вычислением дифракционного интеграла для 
-образного волнового фронта; 2 — распределение волн, полученное с учетом вклада поверхностных волн, возникающих в представлении Ватсона — Редже при скалярной аппроксимации рассеянного поля; 3 — решение, полученное при сложении более чем 1500 членов разложения в представлении рассеянного поля в виде ряда по парциальным волнам. (Из книги Нуссенцвейга [36].)
(см. скан)
ЛИТЕРАТУРА
(см. скан)
(см. скан)
БИБЛИОГРАФИЯ
(см. скан)
