2.13. ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ ЛУЧЕЙ МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ

Во многих случаях метод разделения переменных позволяет получить параметрическое представление траекторий лучей. Пусть — ортогональные криволинейные координаты, а соответствующие масштабные множители. Тогда

Если обозначить через о координаты точек на данном луче, то, проецируя векторное соотношение (2.4.1) на координатную ось получаем

где можно рассматривать на луче как функции координаты Аналогичные соотношения справедливы при замене на или а.

2.13.1. Аксиально-симметричные среды

Если

то соотношение (2.13.2) можно переписать в виде [см. выражение для 5 в формуле

где выбраны цилиндрические координаты Если А зависит от то представляет собой также функцию от и эту функцию можно определить, используя (2.12.33) в каждом сечении Используя теперь (2.13.2) для вместо получаем

Из системы уравнений (2.13.4) и (2.13.5) следует, что

Разделив первое из этих уравнений на второе, имеем

Заметим, что эти уравнения можно получить непосредственно из уравнения для лучей. При этом величина не обязательно является

целой. Здесь мы рассматриваем конгруэнцию лучей, волновые фронты которых распространяются по всему пространству. Этот частный случай соответствует эйконалу типа (2.12.24), для которого величина должна быть целой. С другой стороны, пытаясь покрыть все пространство множеством лучей с нецелым мы не можем определить однозначный эйконал. Поэтому мы будем рассматривать нецелые только для лучей, образующих трубку с малым поперечным сечением.

Величину называют, как правило, инвариантом наклона, так как она связана с поперечными направляющими косинусами соотношением

Если не зависит от то является интегралом движения и

где направляющий косинус относительно оси

Меридиональные лучи лежат в плоскостях, содержащих ось [см. (2.13.8)]. Для них из уравнения (2.13.7) следует, что

Общее решение этого уравнения определяет все возможные меридиональные траектории.

Пример 1: меридиональные лучи в градиентных волокнах. Рассмотрим в качестве примера среду с показателем преломления, распределенным следующим образом:

где произвольные постоянные. Используя нормализованные координаты

уравнение (2.13.11) можно переписать в виде

где две точки над обозначают вторую производную по Это нелинейное дифференциальное уравнение, сводящееся при к уравнению гармонического осциллятора. При этом лучи описывают синусоидальные траектории с пространственным периодом

который через величину зависит как от начального радиального положения так и от угла относительно оси В общем случае решением уравнения (2.13.15) является периодическая функция где угловая частота, которая зависит от параметра нелинейности 5, набора коэффициентов и начальных условий Следовательно, функцию можно представить в виде ряда Фурье (метод Линштедта [15], см. также метод Крылова, Боголюбова, Митропольского

Постоянные удобно записать в виде степенных рядов по :

Если подставить эти разложения в ряд Фурье (2.13.17), то из уравнения (2.13.15) следует, что

где определяется через начальные условия

Кроме того, коэффициенты зависят от В частности,

Если оборвать ряд (2.13.17) на члене то рассмотренный выше метод позволяет написать следующее выражение:

где

Сравнивая (2.13.28) и (2.13.19), с помощью выражения (2.13.14), в котором величина представлена в виде (2.13.10) для конкретных начальных условий, можно записать следующее соотношение:

где были использованы также выражения (2.13.17) и (2.13.10) с учетом начальных значений. В свою очередь из (2.13.24) следует

Отсюда видно, что фаза не зависит от начальных условий при

Пример 2: самофокусирующие волокна. Рассмотрим среду, показатель преломления которой распределен в виде функции гиперболического секанса (sch-профиль):

Можно получить следующее точное решение уравнения (2.13.11):

откуда приближенно (для малых аргументов получаем

Таким образом, период не зависит от начального положения и наклона луча.