6.5.2. Представление Ватсона — Редже

Вычисление амплитуды рассеянной волны представляющей -й член в дебаевском разложении, сводится к суммированию парциальных волн [см. выражение (6.5.6в)]. Суммирование можно заменить интегрированием, как это было сделано при выводе выражения (4.12.10), только в данном случае коэффициент должен быть заменен на что дает

Учитывая теперь соотношение для соответствующего члена из разложения (6.5.4), мы имеем так что контур С [см. выражение (4.12.10)] можно свести к линии, параллельной вещественной оси и отстоящей от нее на малое расстояние Отсюда для поля Получим

Чтобы применить преобразование Ватсона, нужно найти положения полюсов функций даваемых выражениями

Если известны функции , то полюсы функции совпадают с корнями уравнения (см. работу Нуссенцвейга [22], указанную в литературе к гл. 4)

В случае металлической поверхности полюсы функции совпадают с нулями функции (см. разд. 4.12).

Сразу же заметим, что полюсы функции в комплексной плоскости одни и те же для всех членов разложения, причем для члена их порядок равен Полюсы расположены либо вблизи нулей функции либо вблизи нулей В частности, можно показать (ср. с разд. 4.12), что полюсы первого типа даются выражением с (4.12.19)]

где нуль функции Последний член в правой части этого выражения учитывает разницу граничных условий на диэлектрической и металлической поверхностях.

Аналогично, в верхней полуплоскости полюсы второго типа даются выражением

С учетом распределения этих полюсов в комплексной плоскости (см. работу Нуссенцвейга [22], указанную в литературе к гл. 4) введем переменные (рис. 6.8):

где Из выражений (4.12.22) и (4.12.23) можно найти положения нулей при и соответственно получить, что полюса в асимптотике располагаются на кривой а полюса на кривой