3.17.2. Детерминант Хилла

Функция входящая в разложение (3.17.9), является периодической с периодом следовательно, ее можно разложить в ряд Фурье:

Подставляя выражение из правой части (3.17.10) в уравнение (3.17.2), получаем тригонометрический ряд, который должен быть тождественно равен нулю. В соответствии с этим мы имеем

где Если обозначить через детерминант этой системы уравнений (называемый также детерминантом Хилла), то характеристический показатель экспоненты 8 определяется соотношением

Хил доказал, что корни этого уравнения являются и корнями уравнения

которое представляет собой обобщение уравнения (3.9.15), полученного ранее для кусочно-постоянной периодической среды, на случай произвольного профиля показателя преломления, симметричного относительно начала координат.

Если модуль правой части (3.17.13) меньше единицы, то — вещественное число. В противном случае В важном частном случае первого брэгговского резонанса В общем случае мы сталкиваемся с необходимостью вычисления при

детерминанта матрицы бесконечной размерности:

При уравнение (3.17.13) можно записать приближенно в виде

где вычисляется при В соответствии с этим если чуть больше единицы, то при иными словами, периодическая среда ведет себя как брэгговский отражатель при