7.14. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФОКСА — ЛИ

Ограничимся здесь рассмотрением линейного резонатора Фабри — Перо. Можно считать, что если число Френеля не очень велико, то основные моды резонатора будут приблизительно ТЕМ-типа. Это предположение является необходимым для обоснования перехода к скалярной дифракционной теории. Кроме того, можно использовать результаты, полученные в приближении геометрической оптики, а именно те, что моды состоят из двух противоположно направленных волн. Обозначим через и амплитуды прямой и обратной волн, отраженных от зеркал Пользуясь формулами из разд. 4.2, можно связать поле и на зеркале с полем и на зеркале Применив те же формулы [см. выражение (4.2.14)] предположив, что волновые фронты совпадают с поверхностью зеркал, можно написать следующие выражения:

где нижние индексы 1 и 2 относятся соответственно к зеркалам расстояние между точками (рис. 7.31), и углы

Рис. 7.31. К вычислению пространственной конфигурации мод резонатора с помощью дифракционного интеграла Кирхгофа.

между вектором и нормалями в точках функции аберраций на соответствующих зеркалах. Формулы (7.14.1) справедливы также и для резонаторов лазеров высокой мощности, вывод из которых осуществляется за счет дифракции на апертуре выходного зеркала [25].

В случае когда расстояния между зеркалами много больше их размеров, расстояние можно записать приближенно в виде

где - параметры резонатора.

Функции аберраций определяются тем, насколько сильно отклоняются зеркала от идеальной формы. Например, если зеркало слегка отклонено (см. разд. 7.11.2) на углы и дфуу то мы имеем Окна Брюстера являются еще одним источником аберраций (астигматизм и кома). Источником аберраций является и сама активная среда, например нагрев стержней в -лазере вызывает линзовый эффект. В газовых проточных лазерах основными факторами, искажающими поле в резонаторе, являются ударные волны и турбулентность. В этом случае их влияние может быть учтено некоторыми дополнительными функциями аберраций.

Перейдем теперь к обсуждению граничных условий интегрального уравнения (7.14.1). Если компонента магнитного поля, совпадающая по направлению с касательной к поверхности зеркал с коэффициентами отражения соответственно то граничные условия запишутся следующим образом:

Заменяя в уравнении на на и используя выражение (7.14.2), получим систему интегральных уравнений Фредгольма [26]

где

Уравнения (7.14.4) были впервые выведены в 1960 г. Фоксом и Ли [27] для плоскопараллельного и конфокального резонаторов, а затем были обобщены на резонаторы со сферическими зеркалами.

Если размеры зеркал малы по сравнению с расстоянием между ними то отклонением хода лучей от прямого пути можно пренебречь и считать, что В этом случае, заменяяв уравнении (7.14.4а) левой частью уравнения (7.14.46), получаем

здесь поперечные векторы а

Аналогичные выражения можно записать и В заключение заметим, что уравнения Фокса — Ли (7.14.4) эквивалентны двум интегральным уравнениям Фредгольма, имеющим одно и то же собственное значение Из этого следует, что в уравнениях (7.14.4) сохраняется постоянным только произведение в то время как сами величины изменяются.