2.14.2. Геодезические линзы

Интересным приложением принципа Ферма является геодезическая линза, которая состоит из тонкого диэлектрического слоя с постоянным показателем преломления нанесенного на подложку с небольшим углублением (рис. 2.29). Такие двумерные структуры обладают волноводными свойствами, т. е. луч, первоначально касательный к

Рис. 2.29. Геодезическая линза, образованная углублением в планарном волноводе. (Из работы [23].)

поверхности углубления, меняет свое направление и следует по касательной к поверхности [22]. Для некоторых типов поверхностей такая система может действовать как линза, собирающая световой пучок, поступающий в этот оптический волновод.

Вообще говоря, геодезическая линза представляет собой поверхность вращения (рис. 2.30). В цилиндрических координатах профиль линзы описывается функцией а оптический путь дается выражением

где мы положили что вполне оправдывается, поскольку показатель преломления считается постоянным.

Применяя вариационный критерий (2.14.5), соответствующее уравнение Эйлера можно записать в виде

Рис. 2.30. Траектории лучей в геодезической линзе. Здесь «проекция» угла на плоскость (Из работы

где подынтегральное выражение в формуле (2.14.20). Учитывая затем соотношение получаем

здесь С — величина, постоянная вдоль луча. Полученное отсюда выражение для дает дифференциальное уравнение геодезической линии:

где точка над буквой обозначает производную по

Если обозначить через угол между лучом и меридиональной линией на поверхности, а через длину дуги, то (2.14.20) и (2.14.22) сводятся к уравнению

Это уравнение называется теоремой Клэро, которую можно рассматривать как обобщение закона Снеллиуса [см. также теорему Боугера (2.13.40)] применительно к однородной среде.