2.13.2. Сферически-симметричные среды
Если показатель преломления
имеет сферически-симметричное распределение, то удобно использовать сферические координаты
При этом простые соображения симметрии показывают, что каждый луч описывает плоскую траекторию, которая лежит в плоскости, определяемой начальным направлением луча
и начальной координатой
Используя уравнение (2.13.2) для переменных
, с помощью первых двух выражений (2.12.36) получаем
Отсюда можно написать следующие выражения для
Следовательно, если
это угол между касательной к лучу и радиус-вектором из начала координат (рис. 2.23), то
Заметим теперь, что для любого отдельного луча всегда можно выбрать систему координат таким образом, чтобы плоскость траектории содержала ось
Это соответствует случаю
Рис. 2.23. Траектории лучей в среде со сферически-симметричным распределением показателя преломления.
[см. (2.13.37)]. При этом выражения (2.13.36) и (2.13.38) дают
В частности, прямолинейному лучу, проходящему через начало координат, соответствует параметр
Поскольку
соотношение (2.13.39) эквивалентно следующему:
Это выражение представляет собой обобщение закона Снеллиуса для сред со сферически-симметричным профилем показателя преломления. Оно известно также как теорема Боугера, которую можно интерпретировать как закон сохранения углового момента фотонов, движущихся через среду.
Следует заметить, что конгруэнция лучей относится к эйконалу вида
только если все лучи имеют одинаковые параметры
Если это условие не выполнено, то эйконал нельзя представить в виде суммы функций отдельных переменных.
При
уравнение (2.13.36) принимает более простой вид:
Мы видим, что оно является сингулярным, когда
Условие (2.13.42) определяет каустику лучевого поля, составленного из лучей с
и общим параметром с. Таким образом, каустика состоит из набора сферических поверхностей с центром в начале координат. Освещенная зона, т. е. часть пространства, в которой траектории являются вещественными, определяется условием [получаемым сразу из (2.13.41)]
Круговые траектории с центром в начале координат могут существовать лишь для некоторых
При этом радиус кривизны луча совпадает с
т. е. [см. (2.4.14)]:
Кроме того, поскольку в этом случае
из уравнения (2.13.41) имеем
Другой важный класс траекторий существует для распределений
таких, что функция
имеет относительный максимум. В этом случае для некоторых параметров с уравнение (2.13.42) имеет два корня:
а луч движется по траектории, ограниченной двумя окружностями, компланарными с лучом и имеющими радиусы
В частности, конгруэнции, состоящие из замкнутых траекторий, описывают колебательные моды (типы колебаний) среды.
Рассмотрим пучок лучей, распространяющихся из
под углом
т. е. первоначально параллельно оси
Для данного луча из уравнения (2.13.40) мы имеем
где
первоначальное расстояние от оси
(прицельный параметр в теории рассеяния или высота в теории линз). Достигнув расстояния максимального сближения
которое, как можно вычислить с помощью (2.13.40) и (2.13.46), определяется уравнением
луч возвращается на бесконечность, описывая траекторию, симметричную относительно начальной и асимптотически образующую угол
с отрицательным направлением оси
Угол
можно вычислить, интегрируя уравнение (2.13.41):
Рис. 2.24. Траектории лучей в среде с радиальной симметрией, а — зависимость
от
луч, отражающийся между двумя сферическими каустиками.