8.9. ОДНОМОДОВЫЕ ВОЛОКНА

В разд. 8.6 мы показали, каким образом волокно со ступенчатым профилем показателя преломления может работать в одномодовом режиме, т. е. направлять только две вырожденные ортогонально-поляризованные волны, соответствующие моде при условии, что нормированная частота V удовлетворяет неравенству (8.6.13). В области длин волн в которой кварцевые волокна характеризуются малыми потерями и слабой хроматической дисперсией (см. разд. 8.13 и 8.14), одномодовые волокна имеют большие потенциальные возможности для ультраширокополосной оптической связи, что побуждает заняться детальным изучением их характеристик распространения. Однако это изучение не может ограничиваться рассмотрением волокон со ступенчатым профилем показателя преломления, для

которого уже имеется аналитическое решение, хотя и сложное. В практически важном диапазоне длин волн (по крайней мере используемом в настоящее время) одномодовость достигается при малых радиусах сердцевины, что не позволяет осуществлять в процессе изготовления точный контроль профиля показателя преломления волокна, который проявляет искажения или провалы вокруг оси волокна. К счастью, оказывается, что поле моды и постоянная распространения одномодового волокна практически нечувствительны к малым искажениям профиля показателя преломления и эти параметры можно вычислять независимо от тонкой структуры профиля [10].

В соответствии с рассмотрением, проведенным в предыдущих разделах, разумно предположить, что в слабонаправляющих волокнах с произвольным профилем показателя преломления в сердцевине поле любой моды можно аппроксимировать поперечной линейно-поляризованной волной, являющейся решением скалярного волнового уравнения. Например, направляя плоскость поляризации по оси х и записывав приближенно (с учетом предположения о слабой направленности

получаем следующее уравнение для амплитуды моды с азимутальным числом v:

Прямой подход к решению уравнения (8.9.2) с целью изучения характеристик распространения одномодовых оптических волокон, состоящий в том, чтобы определить конкретный вид и найти какой-либо точный численный метод расчета [11], в общем случае при произвольных профилях показателя преломления является трудным. Однако разработан значительно более простой подход, который позволяет получить важные характристики, исходя всего лишь из двух-трех параметров, соответствующих моментам профиля показателя преломления [12]. В этом методе обычно вводится функция профиля определяемая выражением

где максимальное значение в сердцевине, а показатель преломления в оболочке, имеющий постоянную величину. Функция профиля очевидно, тождественно равна нулю для больших чем радиус сердцевины рис. 8.13), а ее моменты определяются выражением

Рис. 8.13. Типичный вид функции профиля

откуда находим

причем Заметим, что для полного определения функции профиля достаточно только четных моментов, поскольку она определяется лишь в области Моменты эффективная нормированная частота волокна, определяемая выражением

связаны друг с другом следующим простым соотношением:

где

— нормированная частота волокна со ступенчатым профилем, имеющего тот же радиус а и показатель преломления сердцевины что и у рассматриваемого волокна.

В остальной части этого раздела мы будем следовать методу, который применяли Хасси и Паск [13]. Рассматривая основную моду, для которой перепишем уравнение (8.9.2) в виде

где

и

Предполагая, что опорный профиль и поле удовлетворяют уравнению

в первом приближении теории возмущений получаем

В частности, если представить в виде полинома от [в соответствии с уравнением является четной функцией величины с коэффициентами разложения то мы можем записать следующее равенство:

где

Обычно за исходный удобно принять ступенчатый профиль показателя преломления, для которого поля хорошо известны (см. разд. 8.6), так что а радиус сердцевины предполагается a priori неизвестным опорным параметром. Вычислив коэффициенты можно получить следующие соотношения, выраженные через моменты низших порядков;

для

для где параметр

определяется типом профиля. В частности, для ступенчатого профиля для профилей со степенной зависимостью типа величина х положительна, а для зависимости типа (которые имеют провал на оси волокна) она отрицательна.

Выражения (8.9.15) и (8.9.16) позволяют нам описывать одномодовые оптические волокна с помощью первых трех моментов и профиля показателя преломления. Поскольку моменты являются усредненными по профилю величинами, данный метод автоматически приводит к сглаживанию несуществешой тонкой структуры показателя преломления

Для того чтобы описать распространение импульса и хроматическую дисперсию (см. разд. 8.13), обычно вводится параметр определяемый выражением [9]

где Параметр можно выразить через в виде

Другим важным параметром, особенно в связи с вопросом о связи источника с волокном и потерях на микроизгибах (см. разд. 8.15), является размер пятна Его можно определить, вспомнив, что для ступенчатых профилей и профилей, изменяющихся в соответствии со степенным законом, функция с хорошей точностью аппроксимируется гауссовой функцией

или непосредствнно выражением

Величину можно вычислить в явном виде с помощью рассмотренного выше метода, который дает следующее выражение:

В частности, можно показать [10], что при с хорошей точностью мы можем записать

Остается вычислить критическую частоту для второй моды. Это можно сделать, применяя ко второй моде рассмотренный выше метод и учитывая условие отсечки которое после некоторых алгебраических преобразований можно записать следующим образом: