3.9.2. Вычисление М-матрицы для мультислоя

Рассмотрим теперь мультислой из слоев, каждый из которых характеризуется одинаковой -матрицей, а чтобы получить матрицу для всего мультислоя, матрицу нужно повторить раз, т. е. вычислить степень матрицы Для этого удобно представить в виде двух матриц таких, что Для того чтобы найти это представление, будем действовать в три этапа. Во-первых, найдем два собственных значения матрицы (для простоты будем считать, что они различны); во-вторых, вычислим правые и левые собственные векторы матрицы соответствующие в-третьих, построим и используя эти собственные векторы. Для нахождения собственных значений нужно решить уравнение

из которого с учетом равенства получаем

Здесь

Вычислим затем правый собственный вектор соответствующий Для этого нужно решить однородную систему уравнений

Аналогично для нахождения левого собственного вектора

решаем систему уравнений

При этом все собственные векторы определяются с точностью до призвольного постоянного множителя. Очевидно, что те же уравнения справедливы при замене

Теперь нетрудно построить матрицу комбинируя составляющие векторов и следующим образом:

Матрица определяется аналогично. Таким образом, мы имеем

Равенство нулю последнего произведения следует из соотношения

которое при верно лишь в том случае, если Теперь можно выразить через

Умножая обе части этого равенства на получаем

Поскольку аналогичное равенство справедливо и для окончательно имеем

Кроме того, с использованием условия ортогональности и идемпотентности нетрудно получить (другое выражение для приведено в задаче 7)

Пример: -матрица мультислоя с попеременно изменяющимся показателем преломления. Соотношение (3.9.26) полезно применять, в частности, для вычисления матрицы мультислоя, состоящего из

чередующихся слоев с показателями преломления соответственно и толщинами В этом случае, если обозначить через матрицы отдельных слоев, то из уравнения (3.9.5) для матрицы двойного слоя получаем

где фазовые толщины слоев соответственно Для того чтобы представить матрицу в виде, аналогичном (3.9.25), нужно с помощью выражения (3.9.16) вычислить 6 и решить уравнения (3.9.17) и (3.9.18).

Следует заметить, что для любой слоистой среды матрица при данной длине волны равна характеристической матрице некоторой двухпленочной комбинации (теорема Херпина). Математически это утверждение эквивалентно тому, что можно найти четыре таких параметра: при которых матричные элементы в (3.9.27) будут совпадать с величинами