3.19. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ И ЗАТУХАЮЩИХ ВОЛН ПО ТОНКИМ ПЛЕНКАМ

Во введении мы уже отмечали, что многослойные структуры могут обеспечивать возможность распространения определенных волн, а именно поверхностных волн и волн утечки. В качестве простейшего примера рассмотрим идеальную металлическую подложку покрытую единичным диэлектрическим слоем (заземленный диэлектрический экран; рис. 3.30). В этом случае коэффициент отражения определяемый выражением (3.12.19), принимает простой вид:

где а индекс используется для величин, относящихся к покрытию. Пусть в выражении

Тогда сразу получаем, что полюсы и нули функции можно определить из следующего уравнения на собственные значения (случай ТЕ-волн рассмотрен в [41]):

Рис. 3.30. Заземленный диэлектрический волновод.

в котором знаки плюс и минус относятся к полюсам и нулям соответственно. При этом для каждой частоты коэффициент отражения обращается в нуль или расходится, когда поперечный волновой вектор удовлетворяет уравнению (3.19.2). При фиксированных значениях если — корень уравнения (3.19.2) со знаком +, то корень того же уравнения со знаком Этот факт является следствием того, что при вещественных изменение на означает и замену функций на их комплексно-сопряженные. Таким образом, нули функции совпадают с комплексно-сопряженными значениями полюсов.

Для нахождения полюсов перепишем уравнение (3.19.2) в виде

где V (в теории оптических волокон — нормированная частота), определяются следующим образом:

Поскольку то для вещественных и при имеем

Заметим между прочим, что магнитное поле падающей и отраженной волн можно выразить через

Уравнения (3.19.3) имеют бесконечно много комплексных корней, каждый из которых можно рассматривать как функцию от К. В частности, для сразу получаем, что где целое число. Поэтому каждый корень можно пометить индексом соответствующим его асимптотическому значению, т.е. и

В случае когда вещественны, уравнения (3.19.3) можно решить графически, как показано на рис. 3.31,а. При этом корень определяется пересечением кривой с окружностью радиусом Если мы уменьшим величину К, то сдвинутся влево относительно соответствующих вещественных осей, в то время как (рис. 3.31, б) сначала сдвинется влево от точки (мы предположили, что а затем, достигнув точки ветвления возвратится направо, в нижний квадрант правой комплексной полуплоскости Если

V станет меньше критической величины при которой окружность касается кривой то корень становится комплексным.

Для вычисления вещественной и мнимой частей корня возведем уравнения (3.19.3) в квадрат. Затем после простых алгебраических выкладок получим

Рис. 3.31. (см. скан) а — графическое определение собственных значений уравнения (3.19.3); толстые кривые — график функции окружность Геометрические места точек решений для ТМ-моды заземленного диэлектрического световода на комплексной плоскости на плоскости и (в); на плоскости Волнистая линия на рис. разрез функции Значения лежат на нижнем берегу разреза справа от Геометрическое место точек имеет точку возврата при и при изменяется по верхнему берегу разреза, достигая минимального значения меньшего, чем

Уравнение (3.19.66) устанавливает связь между а уравнение (3.19.6а) позволяет определить соответствующее значение При для V имеем следующее уравнение:

Минимально возможное значение К, совпадающее с критической

величиной определенной выше, достигается при и где

При величина и становится комплексной. На рис. 3.31, в изображена зависимость от и для случая Используя уравнение (3.19.3а), можно построить график зависимости от (рис. 3.31, г). Из физических соображений величина должна быть положительной, если в выражении (3.19.5) представляет собой волну, падающую на диэлектрик и распространяющуюся от В частности, из рис. 3.31,в видно, что значение тождественно равно нулю при а при меньших и быстро растет и достигает максимума при Такое поведение легко подтвердить, используя уравнение (3.19.3а) и условие Отсюда следует, что можно получить, решая уравнение Таким образом, если записать то сразу находим, что не зависит от модового индекса и определяется выражением

На рис. 3.32 показано, как изменяются величины с ростом V от нуля до В тех случаях когда лежит в первом квадранте комплексной -плоскости непосредственно над разрезом, волна в окружающей среде бежит параллельно поверхности раздела и затухает в перпендикулярном ей направлении (поверхностная волна; рис. 3.33,а).

Интересен случай, когда лежит в четвертом квадранте. При этом внешнее поле представляет собой неоднородную волну,

Рис. 3.32. Постоянные затухания (а) и распространения для -моды, распространяющейся по тонкой пленке на металлической подложке. Если нормализованная частота V больше, чем х, то распространяется поверхностная волна. При -модой является незатухающая волна утечки. При постоянная затухания а волны утечки быстро становится сравнимой с k. При имеем (см. рис. 8.11).

Рис. 3.33. Схематическое изображение силовых линий электрического поля, а — для поверхостной волны; б - для незатухающей волны утечки в — для излучающей волны утечки

движущуюся от плоскопараллельного слоя. Вследствие этого энергия, переносимая распространяющейся внутри слоя модой, постепенно теряется за счет непрерывной утечки на излучение во внешнюю среду. Это в свою очередь приводит к экспоненциальному затуханию амплитуды моды в направлении распространения (т. е. параллельно слою). Именно этот эффект утечки используется в диэлектрических антеннах, в которых распространяющаяся внутри диэлектрического стержня волна приводит к появлению поля излучения во внешней области.

Казалось бы, что растущая амплитуда волн утечки вне слоя должна привести к физическому парадоксу, а именно к бесконечной амплитуде поля на бесконечном расстоянии от слоя. Этот парадокс легко объяснить, замечая, что мы рассматривали слой бесконечной протяженности. Это означает, что амплитуда поля должна быть бесконечной в той области, откуда приходит волна. Поскольку внешнее поле на бесконечном расстоянии от слоя вызвано этими удаленным источниками, оно должно обращаться в бесконечность.

Поверхностные волны и волны утечки, распространяющиеся диэлектрическому слою, окруженному средой с иным показателе преломления, исследовали Су и Тамир (см. библиографию к данной главе).