4.13.5. Фокусировка пучков с малой апертурой

В случае когда углы достаточно малы интегралы становятся пренебрежимо малыми, так что поле оказывается линейно-поляризованным, и скалярная теория дает описание в хорошем приближении. Точнее говоря, если для общности отказаться от предположения о независимости от то выражение (4.13.29) остается в силе при и использовании вместо

величины

где Таким образом можно учесть возможную несимметричность относительно вращения начального распределения амплитуды поля. Существенным является вывод о том, что оказывается не зависящим от если не зависят от Это означает, что начальная симметрия поля сохраняется в фокальной области. Для больших это неверно, на что указывают стоящие в выражении (4.13.29) множители перед зависящие от угла.

Для малых чисел Френеля выражение (4.13.33) уже неприменимо. Ли и Вольф в 1984 г. показали, что несмотря на это симметричные относительно вращения поля все же могут быть представлены в виде интегралов, аналогичных (4.13.33). Для этого оптические координаты нужно заменить на новые величины

Как мы уже показали в разд. 2.15, для малых круглых апертур функция аберраций сводится к первичным аберрациям Зайделя, и мы имеем

причем оси х и у мы сориентировали таким образом, чтобы Здесь функции представляют собой полиномы Цернике (см. гл. I в книге [11], цитируемой в гл. 1 настоящей книги), нормированные условием Как следствие, коэффициенты появляются мерой отклонения фазы боковых лучей относительно фазы главного луча. В частности, эти пять коэффициентов описывают соответственно сферическую аберрацию, астигматизм, кривизну поля, дисторсию и кому.

Интеграл вычислял Ниджбоер для различных типов малых первичных аберраций. Для сферических аберраций фокальное распределение двумерного поля может быть выражено через функции, исследованные Перси (разд. 5.5). В гл. IX книги Борна и Вольфа [11] (см. гл. 1 настоящей книги) можно найти строгое описание

Рис. 4.22. (см. скан) Дифракционная картина при падении плоской волны на кольцевое отверстие, получаемая на расстоянии, соответствующем числу Френеля, равному 15. Отношение внутреннего диаметра к внешнему равно 0,8. Трехмерный график был построен при использовании улучшенного алгоритма быстрого преобразователя Фурье. (Из работы

аналитических методов и специальных функций, используемых для вычисления интеграла Здесь мы хотим лишь подчеркнуть, что в ряде случаев можно вычислить с использованием асимптотических формул, рассматриваемых в разд. 5.2 и 5.8. Результат численного расчета распределения интенсивности вблизи фокальной плоскости методом быстрого преобразования Фурье представлен на рис. 4.22.