§ 10. Инверсия в пространстве трех измерений. Геометрические свойства.

Если на плоскости проведена окружность радиуса К с центром в начале координат и пересекающая ее радиальная прямая, то две точки на этой прямой, расположенные на расстояниях от центра, называются, согласно § 22а гл. IV, инвертированными точками в том случае, когда

В § 22а гл. IV окружность представляла собой сечение цилиндра, но ее с равным основанием можно рассматривать как главное сечение сферы. Таким образом, каждой точке некоторой поверхности соответствует в

пространстве инвертированная точка; поверхность, образованная иввертированными точками, носит название инвертированной поверхности. Если уравнение исходной поверхности в сферических координатах было то уравнение инвертированной поверхности имеет вид . В § 22а гл. IV было показано, что прямые линии инвертируются (преобразуются) в окружности, лежащие в той же плоскости и проходящие через центр инверсии, и наоборот, тогда как окружности, не проходящие через центр, инвертируются также в окружности. Следовательно, в трехмерном случае плоскость инвертируются в сферы, проходящие через цептр инверсии, а сферы, не проходящие через центр, инвертируются в сферы. Поскольку в § 22а гл. IV законы инверсии были получены при помощи конформных преобразовании, углы при инверснп не изменяются. Отсюда, очевидно, следует, что если малый конус с телесным углом (IV и вершиной в начале коордипат вырезает на поверхности и инвертированной ей поверхности элементы площади и а угол между осью конуса и элементами площади один тот же,